专题08 实数（测试卷）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题08 实数专题测试卷 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知是整数，则 最小整数值是（ ） A．16 B．±16 C．25 D．±25 2．设，则和四个式子中，最大的是（    ） A． B． C． D． 3．设直线（为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 4．若的整数部分为，小数部分为的值为（    ） A．3 B． C． D． 5．在一个位的正整数中，若从左到右第位上的数字与从右到左第位上的数字之和都等于同一个常数，则称这样的数为“对称等和数”．例如：5173是“对称等和数”，其中．已知一个四位“对称等和数”能被11整除，且，这样的四位数共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．求代数式的最小值 ． 8．已知为整数，且是三位数，则有 个满足题意． 9．已知，则的值为 ． 10．如果，那么二次根式的平方根为 ． 11．若与是同一个数的平方根，则为 ． 12．的小数部分为的小数部分为，则 ． 三、解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）计算： (1)； (2)． 14．（本题12分）对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常的四则运算．例如． (1)若，则______，______ (2)已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值． 15．（本题12分）已知，求x，y，a的值． 16．（本题12分）（1）已知是有理数且满足：是-27的立方根，，求的值； （2）已知，求的值. 17．（本题12分）用表示不超过x的最大整数，比如．已知，其中，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题08 实数专题测试卷 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知是整数，则 最小整数值是（ ） A．16 B．±16 C．25 D．±25 【答案】C 【分析】化简=，再根据立方根的性质即可判断． 【详解】解：∵=是整数， ∴的最小整数值是25． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根的性质，解题的关键是熟练掌握立方根的性质． 2．设，则和四个式子中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式大小比较；把表示在数轴上，易得均为正，可比较这两个数的大小；易得，均为负，最后可确定最大的式子． 【详解】解：， ∴在数轴上的位置关系如图所示： ， ， ， ， ， ∴最大的是． 3．设直线（为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象及性质，实数运算．根据题意先将一次函数与坐标轴交点求出，再表示出面积的代数式，继而求出本题答案． 【详解】解：∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴令，则， 令，则， ∴， ∴， 故选：D． 4．若的整数部分为，小数部分为的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法、无理数的估算等知识，先对无理数就行估算，再对式子进行化简即可，熟练整式的乘积和无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， 故选：． 5．在一个位的正整数中，若从左到右第位上的数字与从右到左第位上的数字之和都等于同一个常数，则称这样的数为“对称等和数”．例如：5173是“对称等和数”，其中．已知一个四位“对称等和数”能被11整除，且，这样的四位数共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查对题干新运算的理解，根据，推出，再根据一个四位“对称等和数”能被11整除，得到是11的倍数，得到，，即可解题． 【详解】解：设这个四位数是，则，， 又是11的倍数，则，则，， ∴满足条件的四位数有共个． 故选：D． 6．已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，求平方根，代数式求值等知识，解题的关键是将式子正确变形． 首先由变形得到，然后计算，然后求平方根即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或． 故选：D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．求代数式的最小值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值的几何意义是关键．根据绝对值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，代数式表示的是在数轴上表示x的点到表示3的点距离与到表示的点的距离的2倍之和， 当时，代数式取最小值，最小值为：． 故答案为：． 8．已知为整数，且是三位数，则有 个满足题意． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的意义，根据为整数，且是三位数可知x是6与一个平方数的积，据此即可求解． 【详解】解：∵为整数，且是三位数， ∴x是6与一个平方数的积， ∴，共有8个． 故答案为：8． 9．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 先算小括号里面的，再算括号外面的，然后将已知等式变形，最后代入求值． 【详解】解： = = =， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 10．如果，那么二次根式的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，配方法，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先将方程两边同除以x，得到，再将的被开方式配方，即得 ，最后根据平方根的定义，即得答案． 【详解】解：由得， ， 所以二次根式的平方根为． 故答案为：． 11．若与是同一个数的平方根，则为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义． 【详解】解：∵与是同一个数的平方根， ∴ 时， 解得：， 时， 解得：， 综上可知，为或， 故答案为：或． 12．的小数部分为的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解： ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可； （2）根据有理数的乘方、立方根、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（本题12分）对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常的四则运算．例如． (1)若，则______，______ (2)已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握新新运算法则，有理数混合运算的顺序和法则，解一元一次方程，一次不定方程，是解决问题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）根据新运算法则，列出一元一次方程，求解即可； （3）根据新运算法则，求出的关系式，再根据y、a的值为整数，给定y值求出a值即可． 【详解】（1）∵，且， ∴， 解得，； ∴； 故答案为：6，； （2）∵，且， ∴ ∴ ∵y、a都是整数， ∴，且， ∴． 15．（本题12分）已知，求x，y，a的值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键； 根据算术平方根的非负性得，，，解三元一次方程组即可． 【详解】 ， ， ， ，， ， 解得． 16．（本题12分）（1）已知是有理数且满足：是-27的立方根，，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）0. 【详解】试题分析：（1）根据立方根的意义，算术平方根的性质即可解决问题． （2）首先求出b-c的值，利用完全平方公式即可解决问题． 试题解析：（1）∵a是-27的立方根， ∴a=-3， ∵=7， ∴b=±7， ∴a2+2b=23或-5． （2）∵a-b=2，a-c=， ∴b-c=-， ∴b-c+=0， ∴原式=（b-c+）2=0． 17．（本题12分）用表示不超过x的最大整数，比如．已知，其中，求的值． 【答案】8 【分析】题目主要考查新定义的运算及不等式的性质，理解新定义的运算是解题关键，根据题意得出，进而均等于0或1，根据题意得出关于x的不等式组，解出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴均等于0或1， 又∵， ∴其中必有16个1， ∴， ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$