7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第七章　复数 7．2　复数的四则运算 7．2．1　复数的加、减运算及其几何意义 一、 复数的加、减运算 二、 复数加、减运算的几何意义 三、 复数模的综合问题 课堂达标 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 [课下巩固训练(十九)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学习目标　1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则．　2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． z1＋(z2＋z3) 【知识提炼】　 1．复数加法、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝ ． 2．复数的加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝ ； (2)(z1＋z2)＋z3＝ ． (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 小思考　关于复数的加法运算： (1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ (2)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？ (3)它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？ 提示：(1)两个复数的和是复数，它的值唯一确定． (2)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致． (3)实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项． 例1　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. 解析：(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. 答案：－2－i (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________． 解析：z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－5y＝5，,－3x＋4y＝－3，))解得x＝1，y＝0， 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝ eq \r(2). 答案： eq \r(2) 感悟升华　复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).　 【即学即用】　1.(1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________． 解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i. 答案：－10i (2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________． 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i， 又z1＋z2是纯虚数，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2a－3＝0，,a2－1≠0，))解得a＝3. 答案：3 问题　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示：设 eq \o(OZ1,\s\up6(→))＝(a，b)， eq \o(OZ2,\s\up6(→))＝(c，d)，则 eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋ eq \o(OZ2,\s\up6(→))＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d).几何意义是以 eq \o(OZ1,\s\up6(→))， eq \o(OZ2,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 【知识提炼】　 复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以 eq \o(OZ1,\s\up6(→))， eq \o(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线 eq \o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量 eq \o(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量 eq \o(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量 eq \o(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数 例2　在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝(　　 ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1＝1，z3＝－2＋i，所以由复数加法的几何意义可得，z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i. 答案：C 变式探究　将本例改为：在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋ eq \f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai(a，b∈R)，则a－b＝________． 解析：因为 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))，所以2＋ eq \f(a,2)i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－b＝－2a，,\f(a,2)＋a＝3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6，))故a－b＝－4. 答案：－4 感悟升华　用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 【即学即用】　2.设 eq \o(OZ1,\s\up6(→))及 eq \o(OZ2,\s\up6(→))分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出 eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋ eq \o(OZ2,\s\up6(→)). 解：z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.(如图) 例3　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　 ) A．1 B． eq \f(1,2) C．2 D． eq \r(5) 解析：设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1. 答案：A (2)若复数z满足|z＋ eq \r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值． 解：如图所示，| eq \o(OM,\s\up6(→))|＝ eq \r((－\r(3))2＋(－1)2)＝2，所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. 感悟升华　两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【即学即用】　3.(1)在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x＋y＝0对称，若z1＝2＋i，则|z2－1＋3i|＝(　　 ) A． eq \r(29) B．1 C．5 D． eq \r(5) 解析：因为z1＝2＋i，故其对应的点为(2, 1)，该点关于直线x＋y＝0对称的点为(－1，－2)，该点对应的复数为z2＝－1－2i，故|z2－1＋3i|＝|－1－2i－1＋3i|＝|－2＋i|＝ eq \r(5). 答案：D (2)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　 ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心． 答案：A 答案：B 1．(2024·福建宁德阶段练习)－7＋(－3－i)＝(　　 ) A．10－i B．－10－i C．10＋i D．－10＋i 解析：由题意可得－7＋(－3－i)＝(－7－3)－i＝－10－i. 2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 答案：B 3．在复平面内，向量 eq \o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量 eq \o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则 eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋ eq \o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是(　　 ) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 解析： eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋ eq \o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，故 eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋ eq \o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为0. 答案：C 4．已知复数z＝－4＋3i，则 eq \o(z,\s\up6(－))＋|z|＝______． 解析：因为z＝－4＋3i，所以|z|＝ eq \r((－4)2＋32)＝5， eq \o(z,\s\up6(－))＝－4－3i，所以 eq \o(z,\s\up6(－))＋|z|＝1－3i. 答案：1－3i 5．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. (1)求z1－z2； (2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量． 解：(1)由复数减法的运算法则得z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i. (2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中 eq \o(OZ,\s\up6(→)). 【基础巩固】 1．已知复数z1＝12－3i，z2＝－9＋i，则z1＋z2的实部与虚部分别为(　　 ) A．3，－2 B．3，－2i C．2，－3 D．2，－3i 解析：因为z1＝12－3i，z2＝－9＋i，所以z1＋z2＝3－2i，其实部与虚部分别为3，－2. 答案：A 2．设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则 eq \x\to(z＋w) 的虚部是(　　 ) A．－3 B．3 C．－3i D．3i 解析：依题意z＋ω＝4＋3i，则 eq \x\to(z＋w)＝4－3i，所以其虚部为－3. 答案：A 3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　 ) A． eq \r(5) B．5 C．2 eq \r(5) D．10 解析：依题意， eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 答案：B 4．在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量 eq \o(OZ,\s\up6(→))＝(1, 2)，则|z－i|＝(　　 ) A．3 B． eq \r(3) C．2 D． eq \r(2) 解析：因为复数z对应的向量 eq \o(OZ,\s\up6(→))＝(1, 2)，所以z＝1＋2i，所以|z－i|＝|1＋2i－i|＝|1＋i|＝ eq \r(12＋12)＝ eq \r(2). 答案：D 5．设3(z＋ eq \o(z,\s\up6(－)))＋4(z－ eq \o(z,\s\up6(－)))＝6－4i，则复数z的模为(　　 ) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(1,2) C．1 D． eq \f(\r(5),2) 解析：设z＝a＋bi，则 eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi，所以z＋ eq \o(z,\s\up6(－))＝2a，z－ eq \o(z,\s\up6(－))＝2bi.由3(z＋ eq \o(z,\s\up6(－)))＋4(z－ eq \o(z,\s\up6(－)))＝6－4i⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6a＝6，,8b＝－4))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－\f(1,2)，))所以|z|＝ eq \r(1＋\f(1,4))＝ eq \f(\r(5),2). 答案：D 6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________． 解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5. 答案：5 7．已知复数z满足 eq \o(z,\s\up6(－))－z＝2i，则z的虚部为_________. 解析：设z＝a＋bi，则 eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi，由 eq \o(z,\s\up6(－))－z＝2i可得 eq \o(z,\s\up6(－))－z＝－2bi＝2i，所以b＝－1，故z的虚部为－1. 答案：－1 8．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i，2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且ABCD为平行四边形，则z＝________． 解析：由题意知 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i. 答案：3－6i 9．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3＝5，,2－y＝－6，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝8，))∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 10．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量 eq \o(BA,\s\up6(→))对应的复数是1＋2i，向量 eq \o(BC,\s\up6(→))对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标． 解：∵ eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \o(BA,\s\up6(→))，∴ eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i， 设C(x, y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i， ∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，故x＝4，y＝－2. ∴C点在复平面内的坐标为(4，－2). 【综合运用】 11．设向量 eq \o(OP,\s\up6(→))， eq \o(PQ,\s\up6(→))， eq \o(OQ,\s\up6(→))对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(　　 ) A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 解析：∵ eq \o(OP,\s\up6(→))＋ eq \o(PQ,\s\up6(→))＝ eq \o(OQ,\s\up6(→))，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0. 答案：D 12．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数 eq \o(z,\s\up6(－))－2ai在复平面内对应的点在(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数，可得a＝－2，即z＝2＋2i，可得 eq \o(z,\s\up6(－))＝2－2i，则 eq \o(z,\s\up6(－))－2ai＝2－2i＋4i＝2＋2i在复平面内对应的点为Z(2, 2)位于第一象限． 答案：A 13．(多选)设复数z1＝1－i，z2＝i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为(　　 ) A．z2是纯虚数 B．z1－z2对应的点位于第二象限 C．|z1－z2|＝1 D． eq \o(z,\s\up6(－))1＝1＋i 解析：对于A，z2＝i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B，z1－z2＝1－2i，其在复平面上对应的点为(1，－2)，在第四象限，B错误；对于C，z1－z2＝1－2i，则|z1－z2|＝ eq \r(4＋1)＝ eq \r(5)，C错误；对于D，z1＝1－i，则 eq \o(z,\s\up6(－))1＝1＋i，D正确． 答案：AD 14．已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝______． 解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则|z＋2i|＝|a＋bi＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝ eq \r(a2＋(b＋2)2)，|z|＝|a＋bi|＝ eq \r(a2＋b2)，∵|z＋2i|＝|z|， ∴ eq \r(a2＋(b＋2)2)＝ eq \r(a2＋b2)，∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，化简得4b＋4＝0，解得b＝－1.∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可). 答案：1－i(答案不唯一，虚部为－1即可) 【创新探索】 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马(1601－1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为(　　 ) A．2 eq \r(3)－2 B．2 eq \r(3)＋2 C． eq \r(3)－1 D． eq \r(3)＋1 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点Z(x，y)到△ABC三顶点A(－2, 0)，B(2, 0)，C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°.此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝ eq \f(2,cos 30°)×2＋(2－2tan 30°)＝2 eq \r(3)＋2. 答案：B 16．对于n个复数z1, z2，…， zn，如果存在n个不全为零的实数k1, k2，…， kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1, z2，…， zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i, z3＝－2线性相关，则可取{k1, k2, k3}＝________．(只要写出满足条件的一组值即可) 解析：因为复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，所以存在3个不全为零的实数k1, k2, k3使得k1z1＋k2z2＋k3z3＝0，即k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3×(－2)＝0，所以(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＋k2－2k3＝0，,2k1－k2＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3k1＝2k3，,2k1＝k2，))令k1＝2，则k2＝4，k3＝3，所以{k1, k2, k3}＝{2, 4, 3}． 答案：{2, 4, 3}(答案不唯一) $$