6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．4　平面向量的应用 6．4．1　平面几何中的向量方法 6．4．2　向量在物理中的应用举例 一、 平面几何中的向量方法 二、 平面向量在物理中的应用 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(十一)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标　1.能用向量方法解决简单的平面几何问题．　2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 【知识提炼】　 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 转化为向量问题； (2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 平面几何问题 向量运算 2．向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔ ． (3)求夹角问题，用夹角公式： cosθ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \o\al(2,1) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(2,1))\r(x eq \o\al(2,2)＋y eq \o\al(2,2))) (θ为a与b的夹角). (4)计算线段长度，常用模长公式： | eq \o(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r((xB－xA)2＋(yB－yA)2). x1x2＋y1y2＝0 例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设 eq \o(AD,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又 eq \o(DE,\s\up6(→))＝ eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(AE,\s\up6(→))＝－a＋ eq \f(1,2)b， eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BF,\s\up6(→))＝b＋ eq \f(1,2)a， 所以 eq \o(AF,\s\up6(→))· eq \o(DE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－ eq \f(1,2)a2－ eq \f(3,4)a·b＋ eq \f(1,2)b2＝－ eq \f(1,2)|a|2＋ eq \f(1,2)|b|2＝0. 故 eq \o(AF,\s\up6(→))⊥ eq \o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， eq \o(AF,\s\up6(→))＝(2，1)， eq \o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2). 因为 eq \o(AF,\s\up6(→))· eq \o(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以 eq \o(AF,\s\up6(→))⊥ eq \o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE. 感悟升华　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明． 【即学即用】　1.(1)求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 解：如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴，y轴建立直角坐标系． 设A(2a，0)，B(0，2a)，则D(a，0)，C(0，a)，从而可求得 eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－2a，a)， eq \o(BD,\s\up6(→))＝(a，－2a).不妨设 eq \o(AC,\s\up6(→))， eq \o(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cos θ＝ eq \f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)＝ eq \f((－2a，a)·(a，－2a),\r(5)a·\r(5)a)＝ eq \f(－4a2,5a2)＝－ eq \f(4,5).故所求钝角的余弦值为－ eq \f(4,5). (2)已知正方形ABCD，E、F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，连接AP.用向量法证明： ①BE⊥CF； ②AP＝AB. 证明：如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). ①∵ eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \o(OE,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)， eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(OF,\s\up6(→))－ eq \o(OC,\s\up6(→))＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)， ∴ eq \o(BE,\s\up6(→))· eq \o(CF,\s\up6(→))＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴ eq \o(BE,\s\up6(→))⊥ eq \o(CF,\s\up6(→))，即BE⊥CF. ②设P(x，y)，则 eq \o(FP,\s\up6(→))＝(x，y－1)， eq \o(BP,\s\up6(→))＝(x－2，y)， 由(1)知 eq \o(CF,\s\up6(→))＝(－2，－1)， eq \o(BE,\s\up6(→))＝(－1，2)， ∵ eq \o(FP,\s\up6(→))∥ eq \o(CF,\s\up6(→))，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2. 同理，由 eq \o(BP,\s\up6(→))∥ eq \o(BE,\s\up6(→))，得y＝－2x＋4. ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2y－2，,y＝－2x＋4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(8,5)，))即P( eq \f(6,5)， eq \f(8,5))， ∴ eq \o(AP,\s\up6(→))2＝( eq \f(6,5))2＋( eq \f(8,5))2＝4＝ eq \o(AB,\s\up6(→))2，∴| eq \o(AP,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|，即AP＝AB. 例2　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：法一：设 eq \o(AD,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(BD,\s\up6(→))＝a－b， eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b. ∵| eq \o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝＝＝ eq \r(5－2a·b)＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ eq \f(1,2). 又| eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，即AC＝ eq \r(6). 法二：由平行四边形对角线长与边长之间的关系得AC2＋BD2＝2(AD2＋AB2)， ∴AC2＝2(12＋22)－4＝6，∴AC＝ eq \r(6). 感悟升华　利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2). 【即学即用】　2.如图，在△ABC中，点E为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且 eq \f(BE,AB)＝ eq \f(CF,AC)，连接EF交BC于点D，求证：ED＝DF. 证明：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系， 不妨设BC＝1，设 eq \f(BE,AB)＝ eq \f(CF,AC)＝λ，C(1，0)，A(a，b)，D(d，0)， 则E(λa，λb)， eq \o(AC,\s\up6(→))＝(1－a，－b)， 所以 eq \o(CF,\s\up6(→))＝λ eq \o(AC,\s\up6(→))＝(λ(1－a)，－λb)，所以F(λ(1－a)＋1，－λb). 所以 eq \o(ED,\s\up6(→))＝(d－λa，－λb)， eq \o(DF,\s\up6(→))＝(λ(1－a)＋1－d，－λb). 因为E，D，F共线，所以 eq \o(ED,\s\up6(→))∥ eq \o(DF,\s\up6(→))， 所以－λb(d－λa)＝－λb[λ(1－a)＋1－d]，化简得2d＝λ＋1. 因为 eq \o(ED,\s\up6(→))－ eq \o(DF,\s\up6(→))＝(d－λa，－λb)－(λ－λa＋1－d，－λb)＝(2d－λ－1，0)＝(0，0)＝0， 所以 eq \o(ED,\s\up6(→))＝ eq \o(DF,\s\up6(→))，所以ED＝DF. 【知识提炼】　 1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． 2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． 3．动量mv是向量的数乘运算． 4．功是力F与所产生的位移s的 ． 数量积 例3　在风速为75( eq \r(6)－ eq \r(2))km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解：设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝|va|，| eq \o(CB,\s\up6(→))|＝|ω|，| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°. 设| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝150，则| eq \o(CB,\s\up6(→))|＝75( eq \r(6)－ eq \r(2)). ∴| eq \o(CD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BE,\s\up6(→))|＝| eq \o(EA,\s\up6(→))|＝75 eq \r(2)，| eq \o(DA,\s\up6(→))|＝75 eq \r(6). 从而| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝150 eq \r(2)，∠CAD＝30°. ∴|vb|＝150 eq \r(2)，即没有风时飞机的航速为150 eq \r(2) km/h，方向为北偏西60°. 感悟升华　利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型； (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题． 【即学即用】　3.(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解：如图， 设 eq \o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度， eq \o(AD,\s\up6(→))表示渡船的速度， eq \o(AC,\s\up6(→))表示渡船实际垂直过江的速度． ∵ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，| eq \o(DC,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝12.5，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. (2)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：N，位移单位：m) 解：设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s. ∵ eq \o(AB,\s\up6(→))＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15). ∴W1＝F1· eq \o(AB,\s\up6(→))＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2· eq \o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J). 1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　 ) A. 2 eq \r(5) B． eq \f(5\r(5),2) C. 3 eq \r(5) D． eq \f(7\r(5),2) 解析：BC中点为D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，5))，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))＝ eq \f(5\r(5),2). 答案：B 2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　 ) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝F1， eq \o(OB,\s\up6(→))＝F2， eq \o(OC,\s\up6(→))＝－G，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°. 答案：D 3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　 ) A．7 B．10 C．14 D．70 解析：F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14× eq \f(1,2)＝70. 答案：D 4．飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________km/h. 解析：如图所示，|v1|＝|v|cos 30°＝300× eq \f(\r(3),2)＝150 eq \r(3)(km/h). 答案：150 eq \r(3) 【基础巩固】 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　 ) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． 解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量． 答案：B 2．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　 ) A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 解析：根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短． 答案：BD 3．在△ABC中，若 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))2＝0，则△ABC是(　　 ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：因为 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))2＝0，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))·( eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝0，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝0，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))⊥ eq \o(AC,\s\up6(→))，所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形． 答案：C 4．若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝2e1， eq \o(CD,\s\up6(→))＝－3e1，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是(　　 ) A．平行四边形 B．梯形 C．等腰梯形 D．菱形 解析：由于 eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up6(→))，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))∥ eq \o(CD,\s\up6(→))且| eq \o(AB,\s\up6(→))|≠| eq \o(CD,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD是梯形．又因为| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，即梯形的对角线长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形． 答案：C 5. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．某同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为(　　 ) A．－18 B．18 C．－12 D．12 解析：因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，又F＝(6，24)，故力F对冰球所做的功为W＝|F|| eq \o(AB,\s\up6(→))|cos 〈F， eq \o(AB,\s\up6(→))〉＝F· eq \o(AB,\s\up6(→))＝12. 答案：D 6．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为_________． 解析：合速度|v合|＝ eq \r(202－122)＝16(km/h)＝ eq \f(800,3)(m/min)，∴t＝400÷ eq \f(800,3)＝1.5(min). 答案：1.5 min 7．已知A，B是圆心为C，半径为 eq \r(5)的圆上的两点，且|AB|＝ eq \r(5)，则 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝________． 解析：由弦长|AB|＝ eq \r(5)，可知∠ACB＝60°，故 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝－ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝－| eq \o(CA,\s\up6(→))|| eq \o(CB,\s\up6(→))|cos∠ACB＝－ eq \f(5,2). 答案：－ eq \f(5,2) 8．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0).设AD＝a，则C(1，a)， eq \o(AC,\s\up6(→))＝(1，a)， eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－1，a).因为AC⊥BC，所以 eq \o(AC,\s\up6(→))⊥ eq \o(BC,\s\up6(→))，所以 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)，即AD＝1. 答案：1 9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 证明：设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b， eq \o(AD,\s\up6(→))＝e， eq \o(DB,\s\up6(→))＝c， eq \o(DC,\s\up6(→))＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0. 因为 eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(BD,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→))＝d－c，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝e·(d－c)＝0， 所以 eq \o(AD,\s\up6(→))⊥ eq \o(BC,\s\up6(→))，即AD⊥BC. 10．如图所示，用两根分别长5 eq \r(2) m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小． 解：由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb， ∴解得|Fa|＝150 eq \r(2)－50 eq \r(6). 故A处受力的大小为(150 eq \r(2)－50 eq \r(6))N. 【综合运用】 11．在平行四边形ABCD中，M，N分别在BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(　　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解析：∵ eq \o(AN,\s\up6(→))· eq \o(MN,\s\up6(→))＝( eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DN,\s\up6(→)))·( eq \o(MC,\s\up6(→))＋ eq \o(CN,\s\up6(→)))＝( eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→)))·( eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3)| eq \o(AD,\s\up6(→))|2－ eq \f(3,16)|AB|2＝ eq \f(1,3)×9－ eq \f(3,16)×16＝0，∴AN⊥MN，∴△AMN是直角三角形． 答案：C 12．(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项正确的是(　　 ) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断减小 C．船的浮力不断减小 D．船的浮力保持不变 解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向夹角为θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝ eq \f(|f|,cos θ).∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．∵|F|sin θ不断增大，∴船的浮力不断减小． 答案：AC 13．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为 eq \f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 解析：根据题意得|α||β|sin θ＝ eq \f(1,2).又|α|＝1，|β|≤1，∴ eq \f(1,2)≤sin θ≤1，∴ eq \f(π,6)≤θ≤ eq \f(5π,6). 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) 14．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC. 证明：如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设A(0，2)，C(2，0)，则D(1，0)， eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2). 设 eq \o(AF,\s\up6(→))＝λ eq \o(AC,\s\up6(→))，则 eq \o(BF,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→))＋ eq \o(AF,\s\up6(→))＝(0，2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)， 又 eq \o(DA,\s\up6(→))＝(－1，2)，由题设 eq \o(BF,\s\up6(→))⊥ eq \o(DA,\s\up6(→))，所以 eq \o(BF,\s\up6(→))· eq \o(DA,\s\up6(→))＝0， 所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝ eq \f(2,3)，所以 eq \o(BF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2,3)))， 所以 eq \o(DF,\s\up6(→))＝ eq \o(BF,\s\up6(→))－ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))， 又 eq \o(DC,\s\up6(→))＝(1，0)， 所以cos∠FDC＝ eq \f(\o(DF,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(DF,\s\up6(→))||\o(DC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\r(5),5)，cos∠ADB＝ eq \f(\o(DA,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DA,\s\up6(→))||\o(DB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\r(5),5)， 又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，所以∠ADB＝∠FDC. 【创新探索】 15．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且 eq \f(CE,ED)＝ eq \f(AF,FB)＝ eq \f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝m， eq \o(AD,\s\up6(→))＝n，由 eq \f(CE,ED)＝ eq \f(AF,FB)＝ eq \f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点， ∴ eq \o(FO,\s\up6(→))＝ eq \o(FA,\s\up6(→))＋ eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3)m＋ eq \f(1,2)(m＋n)＝ eq \f(1,6)m＋ eq \f(1,2)n， eq \o(OE,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→))＋ eq \o(CE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(m＋n)－ eq \f(1,3)m＝ eq \f(1,6)m＋ eq \f(1,2)n. ∴ eq \o(FO,\s\up6(→))＝ eq \o(OE,\s\up6(→)). 又O为 eq \o(FO,\s\up6(→))和 eq \o(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上． $$