6.1 平面向量的概念-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．1　平面向量的概念 一、 向量的概念及几何表示 二、 零向量和单位向量 三、 相等向量与共线向量 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(一)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．　2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别．　3.理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 提示：猫的速度再快也没有用，因为它的方向错了． 问题2　你能列举生活中既有大小又有方向的量吗？ 提示：生活中这样的量很多，如物理中的力，加速度，位移等都是既有大小又有方向的量． 【情境导思】　如下图所示： 问题1　老鼠为什么认为猫是“傻猫”？ 起点 方向 方向 长度 | eq \o(AB,\s\up6(→))| 【知识提炼】　 1．向量的概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量． (2)数量：只有 没有 的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ．以A为起点、B为终点的有向线段记作 eq \o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度也叫做有向线段 eq \o(AB,\s\up6(→))的长度，记作 ． 大小 方向 大小 方向 模 (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量 eq \o(AB,\s\up6(→))的大小称为向量 eq \o(AB,\s\up6(→))的 (或称 )，记作 ． ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用 eq \o(a,\s\up6(→))， eq \o(b,\s\up6(→))， eq \o(c,\s\up6(→))). 小思考　两个向量能比较大小吗？ 提示：不能．向量既有大小又有方向，大小可以比较，但方向不能比较大小，故向量不能比较大小． 长度 | eq \o(AB,\s\up6(→))| 例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200 km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100 km到达D点．作出向量 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))， eq \o(AD,\s\up6(→)). 解：记| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝100 km，如图所示． 感悟升华　用有向线段表示向量的步骤 (1)定起点：先确定向量的起点； (2)定方向：再确定向量的方向； (3)定终点：根据向量的长度确定向量的终点． 【即学即用】　1.已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 eq \r(2) km到达D地． (1)作出向量 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))， eq \o(DA,\s\up6(→))； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：(1)由题意，作出向量 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))， eq \o(DA,\s\up6(→))，如图所示． (2)依题意知，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 eq \r(2) km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD＝1 000 eq \r(2) km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 eq \r(2) km. 0 0 1个单位长度 【知识提炼】　 向量名称 定义 零向量 长度为 的向量，记作 单位向量 长度等于 的向量 小思考　(1)零向量的方向固定吗？ 提示：不固定，它的方向是任意的． (2)单位向量唯一吗？ 提示：单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同． 例2　(多选)下列说法中，正确的是(　　 ) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量方向相同 D．单位向量的长度都相等 解析：对于A，B，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；对于C，D，单位向量是长度为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确． 答案：BD 感悟升华　解决向量有关的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 【即学即用】　2.(1)下列结论中正确的为(　　 ) A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与向量 eq \o(BA,\s\up6(→))的长度相等 C．向量的大小与方向有关 D．零向量没有方向 解析：对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；对于B选项，向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与向量 eq \o(BA,\s\up6(→))的模相等，故B对；对于C选项，向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C错；对于D选项，零向量的方向任意，故D错． 答案：B (2)在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　 ) A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 解析：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆． 答案：A 问题3　如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，向量 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))有什么关系？ 提示：大小相等，方向相同． 问题4　如图所示，在梯形ABCD中，向量 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))有什么关系？ 提示：大小不等，方向相同． 相等 相同 【知识提炼】　 平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量，平行向量也叫共线向量．向量a与b平行，记作a∥b. 规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有 相等向量 长度 且方向 的向量叫做相等向量．a与b相等，记作a＝b 相同或相反 平行 0∥a 例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b， eq \o(OC,\s\up6(→))＝c. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 解： (1)与a的长度相等、方向相反的向量有 eq \o(OD,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(AO,\s\up6(→))， eq \o(FE,\s\up6(→)). (2)与a共线的向量有 eq \o(EF,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(OD,\s\up6(→))， eq \o(FE,\s\up6(→))， eq \o(CB,\s\up6(→))， eq \o(DO,\s\up6(→))， eq \o(AO,\s\up6(→))， eq \o(DA,\s\up6(→))， eq \o(AD,\s\up6(→)). (3)与a相等的向量有 eq \o(EF,\s\up6(→))， eq \o(DO,\s\up6(→))， eq \o(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有 eq \o(DC,\s\up6(→))， eq \o(EO,\s\up6(→))， eq \o(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有 eq \o(FO,\s\up6(→))， eq \o(ED,\s\up6(→))， eq \o(AB,\s\up6(→)). 变式探究　本例条件不变，试写出与向量 eq \o(BC,\s\up6(→))相等的向量． 解： eq \o(OD,\s\up6(→))， eq \o(AO,\s\up6(→))， eq \o(FE,\s\up6(→)). 感悟升华　(1)寻找相等向量的方法 先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量． (2)寻找共线向量的方法 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【即学即用】　3.(1)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与 eq \o(AE,\s\up6(→))相等的向量的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由于点E，F分别是AB，CD的中点，所以图中与 eq \o(AE,\s\up6(→))相等的向量为 eq \o(DF,\s\up6(→))， eq \o(EB,\s\up6(→))， eq \o(FC,\s\up6(→))共3个． 答案：C (2)如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是(　　 ) A．| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(EF,\s\up6(→))| B． eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(FH,\s\up6(→))共线 C． eq \o(BD,\s\up6(→))与 eq \o(EH,\s\up6(→))共线 D． eq \o(DC,\s\up6(→))与 eq \o(EC,\s\up6(→))共线 解析：因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(EF,\s\up6(→))|，故A正确；因为 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))， eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \o(HG,\s\up6(→))，且 eq \o(HG,\s\up6(→))与 eq \o(FH,\s\up6(→))共线，故 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(FH,\s\up6(→))共线，所以B正确；直线BD与EH不一定平行，因此 eq \o(BD,\s\up6(→))不一定与 eq \o(EH,\s\up6(→))共线，C项错误；因为 eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \o(CE,\s\up6(→))，所以 eq \o(DC,\s\up6(→))与 eq \o(EC,\s\up6(→))共线，故D正确． 答案：C 答案：BC 1．(多选)给出下列物理量，其中是向量的是(　　 ) A．质量 B．速度 C．加速度 D．功 解析：速度、加速度既有大小，又有方向，是向量；质量、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量． 2．下列说法错误的是(　　 ) A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量与任一向量平行 C．零向量是没有方向的 D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同 解析：对A，零向量的模长为0，故A正确；对B，零向量与任一向量平行，故B正确；对C，零向量的方向是任意的，故C错误；对D，相等向量若起点相同则终点相同，D正确． 答案：C 3．如图，在☉O中，向量 eq \o(OB,\s\up6(→))， eq \o(OC,\s\up6(→))， eq \o(AO,\s\up6(→))是(　　 ) A. 有相同起点的向量 B. 共线向量 C. 模相等的向量 D. 相等向量 解析： eq \o(OB,\s\up6(→))， eq \o(OC,\s\up6(→))， eq \o(AO,\s\up6(→))的模均为圆的半径长，故相等． 答案：C 4．回答下列问题： (1)平行向量是否一定方向相同？ (2)不相等的向量是否一定不平行？ (3)与零向量相等的向量必定是什么向量？ (4)与任意向量都平行的向量是什么向量？ (5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ (6)两个非零向量相等时当且仅当什么？ (7)共线向量一定在同一直线上吗？ 解：(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)零向量；(5)平行向量；(6)长度相等且方向相同；(7)不一定． 【基础巩固】 1．对下面图形的表示恰当的是(　　 ) A．AB B．|AB| C． eq \o(AB,\s\up6(→)) D．| eq \o(AB,\s\up6(→))| 解析：图形有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量． 答案：C 2．下列命题中正确的有(　　 ) A．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 B．共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若|a|>|b|，则a>b 解析：温度没有方向，所以不是向量，故A错；由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错；向量不可以比较大小，故D错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对． 答案：C 3．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是(　　 ) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：速度，位移是向量，不能比较大小，故A，B错误．故选C. 答案：C 4．若| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(AD,\s\up6(→))|且 eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为(　　 ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 解析：∵ eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(CD,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(AD,\s\up6(→))|，∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形． 答案：C 5．(多选)下列说法错误的是(　　 ) A．有向线段 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BA,\s\up6(→))表示同一向量 B．两个有公共终点的向量是平行向量 C．零向量与单位向量是平行向量 D．单位向量都相等 解析：对A，有向线段 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BA,\s\up6(→))表示相反向量，不是同一向量，A错误；对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；对C，零向量与任意向量是平行向量，C正确；对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误． 答案：ABD 6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量 eq \o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与 eq \o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________． 解析：因为A，B，C三点不共线，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))不共线，又因为m∥ eq \o(AB,\s\up6(→))且m∥ eq \o(BC,\s\up6(→))，所以m＝0. 答案：0 7．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________．(填序号) ① eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→))；② eq \o(AO,\s\up6(→))∥ eq \o(AC,\s\up6(→))；③ eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(CD,\s\up6(→))共线；④ eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \o(BO,\s\up6(→)). 解析： eq \o(AO,\s\up6(→))与 eq \o(OC,\s\up6(→))方向相同，长度相等，①正确；∵A，O，C三点在一条直线上，∴ eq \o(AO,\s\up6(→))∥ eq \o(AC,\s\up6(→))，②正确；∵AB∥DC，∴ eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(CD,\s\up6(→))共线，③正确； eq \o(AO,\s\up6(→))与 eq \o(BO,\s\up6(→))方向不同，∴二者不相等，④错误． 答案：①②③ 8．如图， eq \o(AO,\s\up6(→))是某人行走的路线，那么 eq \o(AO,\s\up6(→))的几何意义是某人从A点沿西偏南________方向行走了________ km. 解析：由已知图形可知， eq \o(AO,\s\up6(→))的几何意义是从A点沿西偏南60°方向，行走了2 km. 答案：60°　2　 9．如图，在方格纸中，取两个格子的格点(A，B，C，D，E，F)为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： (1)与 eq \o(AF,\s\up6(→))相等的向量； (2)与 eq \o(AE,\s\up6(→))相反的向量； (3)与 eq \o(AD,\s\up6(→))的模相等的向量． 解：(1)方向相同且模相等的向量为相等向量，故与 eq \o(AF,\s\up6(→))相等的向量为 eq \o(BE,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→)). (2)方向相反且模相等的向量为相反向量，故与 eq \o(AE,\s\up6(→))相反的向量为 eq \o(EA,\s\up6(→))， eq \o(DB,\s\up6(→)). (3)与 eq \o(AD,\s\up6(→))的模相等的向量为 eq \o(DA,\s\up6(→))， eq \o(CF,\s\up6(→))， eq \o(FC,\s\up6(→)). 10．在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ eq \r(5)，并说出向量c的终点的轨迹是什么？ 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为 eq \r(5)的圆(作图略). 【综合运用】 11．(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　 ) A． eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AC,\s\up6(→))共线 B． eq \o(DE,\s\up6(→))与 eq \o(CB,\s\up6(→))共线 C． eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AE,\s\up6(→))共线 D． eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BD,\s\up6(→))共线 解析：对于A，因为AB与AC不平行，且不在同一条直线上，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AC,\s\up6(→))不共线，A错；对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故 eq \o(DE,\s\up6(→))与 eq \o(CB,\s\up6(→))共线，B正确；对于C，因为AB与AE不平行，且不在同一条直线上，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AE,\s\up6(→))不共线，C错；对于D，因为D是AB的中点，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝－ eq \o(BD,\s\up6(→))，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BD,\s\up6(→))共线，D正确． 答案：BD 12．在下列结论中，正确的结论为(　　 ) A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a∥b，a∥c，则c∥b D．a＝b，a＝c，则c＝b 解析：对于A项，虽然a∥b，但其方向不一定相同，长度也不一定相等，故不一定有a＝b，故A项错误；对于B项，根据向量的模的概念，可知B项错误；对于C项，若a＝0，则b，c方向不确定，故C项错误；对于D项，根据向量的概念，可知D项正确． 答案：D 13．已知a，b为非零向量，“a＝b”是“|a|＝|b|”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：充分性：若a＝b，则a，b方向相同且|a|＝|b|，充分性成立；必要性：若|a|＝|b|，但a，b的方向不一定相同，即a，b不一定相等，必要性不成立．因此，“a＝b”是“|a|＝|b|”充分不必要条件． 答案：A 14．已知在四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up6(→))∥ eq \o(CD,\s\up6(→))，求 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况． (1)四边形ABCD是等腰梯形． (2)四边形ABCD是平行四边形． 解：(1)| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，且 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))不平行． 因为 eq \o(AB,\s\up6(→))∥ eq \o(CD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，同时两向量不平行． (2) eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))(或 eq \o(AD,\s\up6(→))∥ eq \o(BC,\s\up6(→))). 若 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形． 【创新探索】 15．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量 eq \o(AA1,\s\up6(→))， eq \o(AA2,\s\up6(→))表示马走了“一步”．若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有________个． 解析：马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个．所以共有11个． 答案：11 16．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，且 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→)).求证：CN平行且等于MA. 证明：由 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，可知AB＝DC且AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC且AD＝BC， 又M，N分别是BC，AD的中点，所以AN＝MC且AN∥MC， 所以四边形AMCN是平行四边形，故CN平行且等于MA. $$