课下巩固训练（19）复数的加、减运算及其几何意义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十九)　复数的加、减运算及其几何意义　　　　　　　　　　　　　　　　 【选择题】每小题5分 1．已知复数z1＝12－3i，z2＝－9＋i，则z1＋z2的实部与虚部分别为(　　 ) A．3，－2 B．3，－2i C．2，－3 D．2，－3i 解析：因为z1＝12－3i，z2＝－9＋i，所以z1＋z2＝3－2i，其实部与虚部分别为3，－2. 答案：A 2．设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则 的虚部是(　　 ) A．－3 B．3 C．－3i D．3i 解析：依题意z＋ω＝4＋3i，则＝4－3i，所以其虚部为－3. 答案：A 3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　 ) A． B．5 C．2 D．10 解析：依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 答案：B 4．在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量＝(1, 2)，则|z－i|＝(　　 ) A.3 B． C．2 D． 解析：因为复数z对应的向量＝(1, 2)，所以z＝1＋2i，所以|z－i|＝|1＋2i－i|＝|1＋i|＝. 答案：D 5．设3＋4＝6－4i，则复数z的模为(　　 ) A． B． C．1 D． 解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，所以z＋＝2bi.由3＋4＝6－4i⇒⇒＝. 答案：D 【填空题】每小题5分 6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________． 解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5. 答案：5 7．已知复数z满足－z＝2i，则z的虚部为_________. 解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，由－z＝2i可得－z＝－2bi＝2i，所以b＝－1，故z的虚部为－1. 答案：－1 8．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i，2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且ABCD为平行四边形，则z＝________． 解析：由题意知，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i. 答案：3－6i 【解答题】每小题10分 9．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴解得∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 10．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标． 解：∵，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i， 设C(x, y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i， ∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，故x＝4，y＝－2. ∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)． 【选择题】每小题5分 11．设向量对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(　　 ) A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 解析：∵，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0. 答案：D 12．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数－2ai在复平面内对应的点在(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数，可得a＝－2，即z＝2＋2i，可得＝2－2i，则－2ai＝2－2i＋4i＝2＋2i在复平面内对应的点为Z(2, 2)位于第一象限． 答案：A 13．(多选)设复数z1＝1－i，z2＝i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为(　　 ) A．z2是纯虚数 B．z1－z2对应的点位于第二象限 C．|z1－z2|＝1 D．＝1＋i 解析：对于A，z2＝i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B，z1－z2＝1－2i，其在复平面上对应的点为(1，－2)，在第四象限，B错误；对于C，z1－z2＝1－2i，则|z1－z2|＝，C错误；对于D，z1＝1－i，则＝1＋i，D正确． 答案：AD 【填空题】每小题5分 14．已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝______． 解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则|z＋2i|＝|a＋bi＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝，|z|＝|a＋bi|＝∵＝|z|，∴，∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，化简得4b＋4＝0，解得b＝－1.∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)． 答案：1－i(答案不唯一，虚部为－1即可) 【选择题】每小题5分 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马(1601－1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为(　　 ) A．2－2 B．2＋2 C．－1 D．＋1 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点Z(x，y)到△ABC三顶点A(－2, 0)，B(2, 0)，C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°.此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2. 答案：B 【填空题】每小题5分 16．对于n个复数z1, z2，…， zn，如果存在n个不全为零的实数k1, k2，…， kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1, z2，…， zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i, z3＝－2线性相关，则可取{k1, k2, k3}＝________．(只要写出满足条件的一组值即可) 解析：因为复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，所以存在3个不全为零的实数k1, k2, k3使得k1z1＋k2z2＋k3z3＝0，即k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3×(－2)＝0，所以(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0，所以解得令k1＝2，则k2＝4，k3＝3，所以{k1, k2, k3}＝{2, 4, 3}． 答案：{2, 4, 3}(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$