课下巩固训练（18）复数的几何意义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十八)　复数的几何意义 (选择题、填空题每题5分，解答题每题10分) 　　　　　　　　　　　　　　　　 【选择题】每小题5分 1．如图，复平面内点P所表示的复数为(每个小方格的边长为1)(　　 ) A．2＋2i B．3＋i C．3＋3i D．3＋2i 解析：由题意可知，点P的坐标为(3, 2)，所以复平面内点P所表示的复数为3＋2i. 答案：D 2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1, 2)，则＝(　　 ) A．－1＋2i B．1＋2i C．1－2i D．－1－2i 解析：由题意知z＝－1＋2i，故＝－1－2i. 答案：D 3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　 ) A． B． C．(1，3) D．(1，5) 解析：|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴. 答案：B 4．复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是(　　 ) A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 解析：由题意可设＝(0, a)(a≠0)，所以对应复数为ai(a≠0)，此复数为纯虚数． 答案：D 5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为(　　 ) A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 解析：∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一个圆． 答案：A 【填空题】每小题5分 6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝________，复数z的共轭复数＝________． 解析：∵，且a＞0，∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i. 答案：1　1＋i　 7．已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________． 解析：∵，∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴＝. 答案： 8．写出一个模为的非纯虚数__________． 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R，a，b≠0)，由题意可知，|z|＝⇒a2＋b2＝5，取a＝2，b＝1，则z＝2＋i. 答案：2＋i(答案不唯一，只要满足实部和虚部的平方和为5的非纯虚数即可) 【解答题】每小题10分 9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z. 解：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)， 又|－1＋i|＝＝|－1＋i|，得， 解得a＝±1，∴z＝±i. 10．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模． z1＝1－i；z2＝－i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2， Z3(－2，0)，Z4(2，2)，则向量分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示． 各复数的模分别为：|z1|＝＝＝1； |z3|＝＝2；|z4|＝. 【选择题】每小题5分 11．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1＝1＋i，则复数z2＝(　　 ) A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i 解析：根据复数的几何意义，z1＝1＋i对应复平面的点是(1, 1)，关于y轴对称得到的点是(－1，1)，对应的复数是z2＝－1＋i. 答案：B 12．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　 ) A．|z|＝ B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为－1＋2i D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上 解析：|z|＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确． 答案：AC 13．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x, y)，则(　　 ) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析：由题可得z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝＝1，则x2＋(y－1)2＝1. 答案：C 【解答题】每小题10分 14．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求向量对应的复数； (2)判定△ABC的形状． 解：(1)由复数的几何意义知：＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)， 所以＝(1，1)，＝(－2，2)，＝(－3，1)，所以对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. (2)因为＝＝2＝，所以2＝2， 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【选择题】每小题5分 15．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e5i表示的复数在复平面中位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为<5<2π，即5弧度的角位于第四象限，则cos 5>0，sin 5<0，所以复数e5i＝cos 5＋isin 5在复平面内对应的点位于第四象限． 答案：D 【填空题】每小题5分 16．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z等于______．(写出一个即可) 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以a<0，b>0，又因为|z|＝2，所以a2＋b2＝4，显然当a＝－1，b＝时，符合题意． 答案：－1＋i(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$