课下巩固训练（17）数系的扩充和复数的概念-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十七)　数系的扩充和复数的概念　　　　　　　　　　　　　　　　 【选择题】每小题5分 1．下列四种说法正确的是(　　 ) A．如果实数a＝b，那么a－b＋(a＋b)i是纯虚数 B．实数是复数 C．如果a＝0，那么z＝a＋bi是纯虚数 D．任何数的偶数次幂都不小于零 解析：对于A中，若a＝b＝0，那么a－b＋(a＋b)i＝0∈R，所以A错误；对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；对于C中，若a＝0且b＝0时，复数z＝a＋bi＝0∈R，所以C错误；对于D中，由虚数单位i2＝－1，可得D错误． 答案：B 2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　 ) A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅ 解析：根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示． 所以应有：M∪R≠I，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅，故ABD三项均错，只有C项正确． 答案：C 3．实数x, y满足条件：(x＋y)＋(y－1)i＝y＋(2y＋1)i(其中i为虚数单位)，则x＋y＝(　　 ) A．－2 B．2 C．3 D．－3 解析：因为(x＋y)＋(y－1)i＝y＋(2y＋1)i，所以解得所以x＋y＝－2. 答案：A 4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　 ) A．a≤0 B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a>0且a＝|b| 解析：若复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数，则有a＋|a|＝0，所以a≤0. 答案：A 5．已知a，b均为实数，复数z＝a2－b＋(b－2a)i，其中i为虚数单位，若z<3，则a的取值范围为(　　 ) A．(－1, 3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－3, 1) 解析：由题z＝a2－b＋(b－2a)i <3，所以z为实数，即则有a2－2a－3<0，解得－1<a<3，即a的取值范围为(－1, 3)． 答案：A 【填空题】每小题5分 6．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b＝________． 解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4. 答案：4 7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________． 解析：由题意得解得m＝2. 答案：2 8．定义：复数b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是________． 解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2，所以复数z＝a＋bi＝1－2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i. 答案：－2＋i 【解答题】每小题10分 9．复数z＝(2a2－a－1)＋(a－1)i，a∈R. (1)若z为实数，求a的值； (2)若z为纯虚数，求a的值； (3)若z＝9－3i，求a的值． 解：(1)若z为实数，则a－1＝0，得a＝1. (2)若z为纯虚数，则　解得a＝－. (3)若z＝9－3i，则　解得a＝－2. 10．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值． 解：由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi， 故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以有得 得x＝－1，y＝2. 【选择题】每小题5分 11．(多选)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列结论错误的是(　　 ) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．纯虚数z的共轭复数是－z 解析：因为z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时复数为纯虚数，此时＝－bi＝－z，故A错误，D正确；当b＝0时，复数z＝a＋bi为实数，故C正确；对于B：a－bi＝3＋2i，则即故B错误． 答案：AB 12．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”． 而若“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立． 所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件． 答案：B 【填空题】每小题5分 13．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________． 解析：∵z1＞z2，∴∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}． 答案：{0} 【解答题】每小题10分 14．已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m. 解：由于m是纯虚数，可设m＝bi(b∈R，且b≠0)． 设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2＋2a－5b)＋(1－3a)i＝0. 因为a，b∈R，所以由复数相等的充要条件，得解得b＝， 所以纯虚数m＝i. 15．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N⊆M，且M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i　①，或8＝(a2－1)＋(b＋2)i　②， 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i　③. 由①，得a＝－3，b＝±2， 由②，得a＝±3，b＝－2， ③中，a，b无整数解，不符合题意． 综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$