课下巩固训练（16）正、余弦定理的综合应用(二)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十六)　正、余弦定理的综合应用(二)　　　　　　　　　　　　　　　　 【解答题】每小题10分 1．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝θ(0<θ<π)，AB＝BC＝CD＝1，AC⊥CD. (1)试用θ表示BD的长； (2)求AC2＋BD2的最大值． 解：(1)∵∠ABC＝θ(0<θ<π)，AB＝BC＝CD＝1，AC⊥CD，∴∠BCA＝， 则∠BCD＝＋∠BCA＝＋＝π－， 在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝2＋2cos ＝2＝4cos2， ∵0<θ<π，∴cos>0，则BD＝2cos . (2)在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝2－2cos θ， ∴AC2＋BD2＝2－2cos θ＋2＋2cos ＝＋2cos＋6＝－42＋， ∵0<θ<π，∴0<cos <1，则当cos 时，取到最大值. 故AC2＋BD2的最大值是. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝. (1)若c＝2b，证明：(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin B sin C； (2)若a＝2，求△ABC周长的最大值． 解：(1)证明：由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A和A＝，得a2＝b2＋c2－bc， 又c＝2b，则a2－b2＝2b2＝bc， 结合正弦定理得sin2A－sin2B＝sin Bsin C， (sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin B sin C. (2)由(1)知a2＝b2＋c2－bc，又a＝2， 故b2＋c2－bc＝4，即(b＋c)2－3bc＝4， b>0，c>0，所以(b＋c)2＝3bc＋4≤32＋4， 则(b＋c)2≤16，故b＋c≤4，当且仅当即b＝c＝2时取等号， 故a＋b＋c≤6，即△ABC周长的最大值为6. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C＝2a＋c. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，D为AC边上的一点，BD＝1，且________，求△ABC的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点． (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分)． 解：(1)由正弦定理知，2sin B cos C＝2sin A＋sin C， ∵sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 代入上式得2cos B sin C＋sin C＝0， ∵C∈(0，π)，∴sin C>0，cos B＝－， ∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)若选①：由BD平分∠ABC得S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， ∴ac×sin ×1×c×sin ×1×a×sin ，即ac＝a＋c. 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ， 又b＝2，∴a2＋c2＋ac＝12， 联立得(ac)2－ac－12＝0，解得ac＝4，ac＝－3(舍去)， ∴S△ABC＝ac sin . 若选②：因为， 所以2＝， 即1＝，得a2＋c2－ac＝4， 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ，即a2＋c2＋ac＝12， 联立可得ac＝4， ∴S△ABC＝ac sin . 4．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且(2a－c)cos B－b cos C＝0. (1)求角B； (2)若b＝2，求a＋c的取值范围； (3)若b＝2，求三角形ABC面积的最大值． 解：(1)(2a－c)cos B－b cos C＝0， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B－sin B cos C＝0， 则有2sin A cos B－sin (B＋C)＝0， 又A＋B＋C＝π，得sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A， 则有2sin A cos B－sin A＝0， 由A∈(0，π)，有sin A>0，得cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)由B＝，b＝2，由余弦定理， 可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac， 又(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－(a＋c)2＝(a＋c)2， ∴(a＋c)2≤4b2＝16，即a＋c≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立， 又a＋c>b＝2，∴a＋c的取值范围为(2，4]. (3)由(2)可知b2＝(a＋c)2－3ac≥4ac－3ac＝ac， 即ac≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立， 则有S△ABC＝ac sin B≤，当a＝c＝2时三角形ABC面积的最大值为. 5．在平面直角坐标系Oxy中，锐角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的纵坐标为，点Q的横坐标为. (1)求cos (α－β)的值； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分． ①若C＝α－β，且c＝2，求△ABC周长的最大值． ②若A＝α，B＝β，且c＝11，求△ABC的面积． 解：(1)因为α，β是锐角，所以P，Q在第一象限， 又因为P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为， 所以sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sinβ＝， 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝. (2)选①：由(1)中结论可得cos C＝， 又C∈(0，π)，C＝， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab. ∵ab≤2，∴4≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2， ∴a＋b≤4，当a＝b＝2时，等号成立，∴a＋b＋c≤6，即当△ABC为等边三角形时，周长最大，最大值为6. 选②：由(1)可知sin A＝，cos A＝，sin B＝，cos B＝， 则sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos Asin B＝， 由正弦定理， 可得，故a＝， 则S△ABC＝ab sin C＝. 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足sin B＋sin C＝2sin A cos B. (1)证明：a2－b2＝bc； (2)如图，点D在线段AB的延长线上，且|AB|＝3，|BD|＝1，当点C运动时，探究|CD|－|CA|是否为定值？ 解：(1)证明：因为sin B＋sin C＝2sin A cos B， 由正弦定理可得b＋c＝2a cos B， 再由余弦定理得b＋c＝2a·，整理得a2－b2＝bc. (2)因为∠ABC，∠CBD互补，所以cos ∠ABC＋cos ∠CBD＝0， 结合余弦定理可得＝0， 因为c＝|AB|＝3，|BD|＝1，则＝0， 整理得4a2－b2＋12－3|CD|2＝0， 又a2＝b2＋bc＝b2＋3b， 则|CD|2＝(b2＋3b)－b2＋4＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2， 从而|CD|＝b＋2，故|CD|－|CA|＝2为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$