课下巩固训练（13）正弦定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十三)　正弦定理 【选择题】每小题5分 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4a，A＋C＝，则sin A＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：在△ABC中，由A＋C＝，得B＝，由b＝4a及正弦定理，得sin A＝sin B＝. 答案：C 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos A＝a cos B，则△ABC的形状为(　　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：因b cos A＝a cos B，由正弦定理，sin B cos A＝sin A cos B，即sin (A－B)＝0，因0<A，B<π，则－π<A－B<π，故A－B＝0，即A＝B，故△ABC是等腰三角形． 答案：B 3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝(　　 ) A．－ B．－ C．－ D． 解析：由正弦定理可知，a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则cos C＝. 答案：B 4．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A与B的大小关系为(　　 ) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A，B的大小关系不能确定 解析：因为，所以.因为在△ABC中，sin A>0，sin B>0，sin A＞sin B，所以>1，所以a>b，由a＞b知A＞B. 答案：A 5．在△ABC中，若sin C＝2sin B cos B，且B∈，则的范围为(　　 ) A． B． C．(0，2) D． 解析：因为sin C＝2sin B cos B，由正弦定理得c＝2b cos B，则＝2cos B，又因为B∈，可得<cos B<，所以<2cos B<，所以的范围为. 答案：A 【填空题】每小题5分 6．在△ABC中，a＝3，c＝3，A＝45°，则△ABC的最大内角等于________． 解析：由正弦定理可得⇒3sin C＝c sin A⇒sin C＝，由于a＝3>c＝3，所以A>C，故C＝30°，故B＝180°－A－C＝105°. 答案：105° 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝_______． 解析：在△ABC中，由b sin A＋a cos B＝0及正弦定理，得sin B sin A＋sin A cos B＝0，而sin A>0，因此tan B＝－1，又0<B<π，所以B＝. 答案： 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，则的值为___________． 解析：设△ABC的外接圆的半径为R，则根据正弦定理可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，＝2R，又＝2＝2R，所以＝2. 答案：2 【解答题】每小题10分 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C， 利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B， 又因为sin A＝cos C，所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin (C＋45°)＝sin B， 又A，B，C是△ABC的内角， 故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)， 所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°. 10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求角A的大小； (2)求的值． 解：(1)由题意知，b2＝ac⇒cos A＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)由b2＝ac，得， ∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝. 【选择题】每小题5分 11．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用正弦定理解△ABC有两解，则x的取值范围是(　　 ) A．2<x<2 B．2<x<2 C．x>2 D．<x<2 解析：如图，B＝45°，过C作CD⊥AB于D， 则CD＝BC·sin 45°＝a sin 45°＝x sin 45°，以C为圆心，CA＝b＝2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和AB边应该有两个交点，故CA>CD且CA<CB，即x sin 45°<2<x，解得2<x<2. 答案：B 12．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是(　　 ) A．A＝ B．A＝，c＝2，a＝1 C．A＝ D．A＝，c＝2，a＝2 解析：由正弦定理，，得sin C＝，若A＝，sin C＝＝2>1，△ABC无解，A选项错误；若A＝，c＝2，a＝1，sin C＝＝1，得C＝，△ABC恰有一个解，B选项正确；若A＝，sin C＝，c>a，C有两解，△ABC有两个解，C选项错误；若A＝，△ABC恰有一个解，D选项正确． 答案：BD 【填空题】每小题5分 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a＝3，B＝的三角形有一解，则b的取值范围为___________． 解析：在△ABC中，由正弦定理，得sin A＝，而a＝3，B＝，当sin A＝1时，△ABC只有一解，b＝a sin B＝；当a≤b，即b≥3时，0<A≤B＝，△ABC只有一解，所以b的取值范围为{. 答案：{ 【解答题】每小题10分 14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且. (1)求B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求a的值． 解：(1)由余弦定理得cos B＝，cos C＝， ∴原式化为，整理得a2＋c2－b2＋ac＝0， ∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)将b＝， 代入b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ， 即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3. 15．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求： (1)B的范围； (2)的范围． 解：(1)在锐角三角形ABC中，0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°， 即⇒30°＜B＜45°. (2)由正弦定理知＝2cos B∈，故所求的范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$