课下巩固训练（12）余弦定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十二)　余弦定理 【选择题】每小题5分 1．(2024·广东茂名阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则＝(　　 ) A． B．－ C．2 D．－2 解析：由余弦定理得cos B＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝，故＝ac cos (π－B)＝－2. 答案：D 2．在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝(　　 ) A．25 B．5 C．4 D． 解析：在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，由余弦定理得b＝＝5. 答案：B 3．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b，则A＝(　　 ) A．90° B．30° C．120° D．150° 解析：因为(a＋c)(a－c)＝b，所以b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝，A∈(0，π)，所以A＝. 答案：B 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝. 答案：D 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则(　　 ) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 解析：由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b，整理得b2－6b＋8＝0，即(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°. 答案：AD 【填空题】每小题5分 6．我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为________． 解析：设“圭田”的底边长为x，则由余弦定理可得x2＝42＋42－2×4×4×＝8，解得x＝2，即该“圭田”的底边长为2. 答案：2 7．在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD为边BC上的高，则AD的长是_____________． 解析：∵cos C＝，∴sin C＝，∴AD＝AC sin C＝. 答案： 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，a＝4，则bc的最大值为________． 解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为A＝，a＝4，所以16＝b2＋c2－bc，因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立． 答案：16 【解答题】每小题10分 9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b. 解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝82－2×15－2×15×＝19.∴b＝. 10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos (A＋B)＝1.求： (1)角C的度数； (2)AB的长度． 解：(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－， 又0°<C<180°，所以C＝120°. (2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，所以 所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝2－2＝10.所以AB＝. 【选择题】每小题5分 11．(多选)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝AC＋1＝8，则边BC的长可能为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵AB＝AC＋1＝8，∴AC＝7，由余弦定理得AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝AC2，即64＋BC2－8BC＝49，解得BC＝3或BC＝5.经检验，均满足题意． 答案：BD 12．在△ABC中，角A，B，C对边为a，b，c，且2c·cos2＝b＋c，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：因为2c·cos2＝b＋c，所以2c·＝b＋c，即c＋c cos A＝b＋c，所以c cos A＝b，在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，代入得c·＝b，即b2＋c2－a2＝2b2，所以c2＝a2＋b2，所以△ABC直角三角形． 答案：B 13．在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　 ) A．1<a<3 B．1<a<5 C．<a< D．不确定 解析：若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<；若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故<a<. 答案：C 【解答题】每小题10分 14．在△ABC中，内角A，B，C对边为a，b，c，已知cos A＝. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； (2)若a2＝bc，判断△ABC的形状． 解：(1)在△ABC中，cos A＝，b＝2，c＝3， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝22＋32－2×2×3×＝7， 所以a＝. (2)在△ABC中，cos A＝，而0<A<π，则A＝， 由a2＝bc及余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得bc＝b2＋c2－2bc·， 整理得(b－c)2＝0，则b＝c，所以△ABC为正三角形． 【选择题】每小题5分 15．如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度组成新三角形，则新三角形的形状是(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 解析：设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2.三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形． 答案：A 【填空题】每小题5分 16．已知2，4，a是一个锐角三角形的三边长，请写出一个a的值________． 解析：因为2，4，a是一个锐角三角形的三边长， 所以解得2<a<2，任取一个a的值4. 答案：4(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$