课下巩固训练（11）平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十一)　平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例 【选择题】每小题5分 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　 ) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． 解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量． 答案：B 2．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　 ) A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 解析：根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短． 答案：BD 3．在△ABC中，若＝0，则△ABC是(　　 ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：因为＝0，所以·＝0，所以＝0，所以⊥，所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形． 答案：C 4．若＝－3e1，＝，则四边形ABCD是(　　 ) A．平行四边形 B．梯形 C．等腰梯形 D．菱形 解析：由于，所以∥且，所以四边形ABCD是梯形．又因为＝，即梯形的对角线长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形． 答案：C 5. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．某同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为(　　 ) A．－18 B．18 C．－12 D．12 解析：因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以＝(2，0)，又F＝(6，24)，故力F对冰球所做的功为W＝〉＝F· ＝12. 答案：D 【填空题】每小题5分 6．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为______________． 解析：合速度|v合|＝＝16(km/h)＝(m/min)，∴t＝400÷＝1.5(min)． 答案：1.5 min 7．已知A，B是圆心为C，半径为＝，则＝________． 解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，故＝－cos ∠ACB＝－. 答案：－ 8．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)．设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a)．因为AC⊥BC，所以⊥，所以＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)，即AD＝1. 答案：1 【解答题】每小题10分 9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 证明：设＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知可得a2－b2＝c2－d2， 所以e·(c－d)＝0. 因为＝d－c， 所以＝e·(d－c)＝0， 所以⊥，即AD⊥BC. 10．如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小． 解：由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb， ∴解得|Fa|＝150. 故A处受力的大小为N. 【选择题】每小题5分 11．在平行四边形ABCD中，M，N分别在BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(　　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解析：∵＝·＝·＝2＝×16＝0，∴AN⊥MN，∴△AMN是直角三角形． 答案：C 12．(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项正确的是(　　 ) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断减小 C．船的浮力不断减小 D．船的浮力保持不变 解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向夹角为θcos θ＝|f|，∴|F|＝.∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．∵|F|sin θ不断增大，∴船的浮力不断减小． 答案：AC 【填空题】每小题5分 13．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是______________． 解析：根据题意得|α||β|sin θ＝.又|α|＝1，|β|≤1，∴≤sin θ≤1，∴. 答案：[] 【解答题】每小题10分 14．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC. 证明：如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设A(0，2)，C(2，0)，则D(1，0)，＝(2，－2)． 设，则＝(0，2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)， 又＝(－1，2)，由题设⊥，所以＝0， 所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝，所以， 所以， 又＝(1，0)，所以cos ∠FDC＝，cos ∠ADB＝， 又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，所以∠ADB＝∠FDC. 15．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且.求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设＝n， 由，知E，F分别是CD，AB的三等分点， ∴(m＋n)＝， (m＋n)－． ∴. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$