课下巩固训练（10）平面向量数量积的坐标表示-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十)　平面向量数量积的坐标表示 【选择题】每小题5分 1．向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则|a－b|＝(　　 ) A．2 B． C．2 D．3 解析：由图形可知，a＝(3，1)，b＝(1，2)，∴a－b＝(2，－1)，|a－b|＝. 答案：B 2．已知向量a＝(3，4)，b＝(－2，m)，c＝(2，－1)，若(a＋b)⊥c，则m＝(　　 ) A．－6 B．－2 C．6 D． 解析：由已知a＋b＝(1，4＋m)，又(a＋b)⊥c，所以(a＋b)·c＝2－(4＋m)＝0，解得m＝－2. 答案：B 3．(2024·广东东莞阶段练习)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，t)，且a∥b，则|a＋b|＝(　　 ) A． B． C． D．5 解析：因为a＝(1，2)，b＝(－2，t)，且a∥b，所以t＝－4，a＋b＝(－1，－2)，|a＋b|＝. 答案：B 4．已知向量a＝(2，1)，b＝(λ，3)，若向量b在向量a上的投影向量c＝(10，5)，则|b＋2a|＝(　　 ) A．7 B．3 C．4 D．5 解析：由题意可得，向量b在向量a上的投影向量为×(2，1)＝(10，5)，则＝5，解得λ＝11，则b＝(11，3)，b－2a＝(7，1)，故|b－2a|＝. 答案：D 5．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，若a与b的夹角为θ，则cos ＝(　　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：由题意得cos θ＝，θ∈[0，π]，所以cos ＝sin θ＝. 答案：A 6．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝，点P是△BCD内一动点，则的取值范围为(　　 ) A．(2，6) B．(0，4) C．(1，3) D．(－2，6) 解析：如图，建立平面直角坐标系， 则A(2，0)，B，C，D(0，0)．设P(x，y)，则－1<x<1，故＝(x－2，y)·(－2，0)＝－2(x－2)∈(2，6)，即的取值范围是(2，6)． 答案：A 【填空题】每小题5分 7．已知向量a＝(0，4)，b＝(3，－7)，λ∈R，若(2a＋b)⊥(a＋λb)，则λ＝______． 解析：由题意知2a＋b＝(3，1)，a＋λb＝(3λ，4－7λ)，由于(2a＋b)⊥(a＋λb)，则(2a＋b)·(a＋λb)＝0，则9λ＋4－7λ＝0，解得λ＝－2. 答案：－2 8．△ABC为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则＝________． 解析：如图，分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 根据条件知CA＝CB＝，∴A，B，O，P，∴＝＝，∴. 答案： 【解答题】每小题10分 9．已知a＝(1，2)，b＝(1，－1)． (1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； (2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值． 解：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)， 所以cos θ＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)ka－b＝(k－1，2k＋1)，依题意(3，3)·(k－1，2k＋1)＝0， 所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0. 10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足·＝0，求t的值． 解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＝(2，6)，＝(4，4)， 所以＝2＝4. 故所求的两条对角线的长分别为2. (2)由题设知，＝(－2，－1)，＝(3＋2t，5＋t)， 由·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－. 【选择题】每小题5分 11．(多选)设向量a＝(2，0)，b＝(－1，－1)，则下列结论中正确的是(　　 ) A．|a|＝|b| B．a·b＝－2 C．a∥b D．(a＋b)⊥b 解析：由a＝(2，0)，b＝(－1，－1)，知|a|＝2，|b|＝，故A错；a·b＝2×(－1)＋0×(－1)＝－2，故B对；由2×(－1)≠0×(－1)，故C错；a＋b＝(1，－1)，则1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，故D对． 答案：BD 12．(多选)已知平面向量a＝(－2，1)，b＝(4，2)，c＝(2，t)，则下列说法正确的是(　　 ) A．若a∥c，则t＝－1 B．若b⊥c，则t＝－4 C．若t＝1，则向量a在c上的投影向量为 D．若t>－4，则向量b与c的夹角为锐角 解析：对于选项A，若a∥c，则(－2)×t＝1×2，即t＝－1，即选项A正确；对于选项B，若b⊥c，则4×2＋2×t＝0，即t＝－4，即选项B正确；对于选项C，若t＝1，则c＝(2，1)，则向量a在c上的投影向量为，即选项C错误；对于选项D，当t＝1时，b＝2c，则当t>－4，向量b与c的夹角为锐角错误，即选项D错误． 答案：AB 【填空题】每小题5分 13．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是________. 解析：以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． ∵AB＝，BC＝2，∴A(0，0)，B，C，D(0，2)， ∵点E在边CD上，且，∴E， ∴＝＝，∴. 答案： 【解答题】每小题10分 14．已知向量a＝，b＝. (1)求证：a⊥b. (2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说明理由． 解：(1)a·b＝·＝＝0，所以a⊥b. (2)假设存在非零实数k，t使x⊥y，则[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0. 又a·b＝0，a2＝4，b2＝1.所以－4k＋t(t2－3)＝0，即k＝(t3－3t)(t≠0)， 故存在非零实数k，t，使x⊥y成立，其关系为k＝(t3－3t)(t≠0且t≠±). 【填空题】每小题5分 15．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，1)，若非零向量c与a，b的夹角均相等，则满足条件的一个向量c的坐标为_________． 解析：设c＝(x，y)，非零向量c与a，b的夹角分别为α，β，则cos α＝cos β，所以，所以，整理得x＝y，取x＝y＝1，则c＝(1，1)． 答案：(1，1)(答案不唯一) 16．已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为a与b的夹角，若a＝(－2，3)，b＝(1，1)，则|a×b|的值为________. 解析：因为a＝(－2，3)，b＝(1，1)，则|a|＝＝，a·b＝－2×1＋3×1＝1，则cos 〈a，b〉＝，又θ∈[0，π]，则sin θ＝＝＝5. 答案：5 学科网（北京）股份有限公司 $$