课下巩固训练（9）平面向量数乘运算的坐标表示-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(九)　平面向量数乘运算的坐标表示 【选择题】每小题5分 1．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　 ) A．(1，－2) B．(9，3) C．(－2，4) D．(－4，－8) 解析：由题意，得＝(1，2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)，符合条件的只有D项． 答案：D 2．若向量a＝，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是(　　 ) A． B． C． D． 解析：法一：∵a＋2b＝，∴－(－1)×(－3)＝0，∴与a＋2b是共线向量． 法二：∵a＋2b＝＝－，∴向量a＋2b与是共线向量． 答案：D 3．已知向量a＝(－1，4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝(　　 ) A．－1 B．6 C．－6 D．2 解析：向量a＝(－1，4)，b＝(3，－2λ)，则2a＋b＝(1，8－2λ)，由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ，解得λ＝6. 答案：B 4．设k∈R，下列向量中，可与向量q＝(1，－1)组成基底的向量是(　　 ) A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k) C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝( k2－1，k2－1) 解析：对于AB项，若k＝0时，b＝(0，0)，c＝(0，0)不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；对于D项，若k＝±1时，e＝(0，0)不满足构成基向量的条件，所以D错误；对于C项，因为∀k∈R，k2＋1≠0，又因为(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1≠0恒成立，说明d与q不共线，符合构成基向量的条件，所以C正确． 答案：C 5．已知点O(0，0)，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是(　　 ) A． B． C．或 D．或 解析：因为＝(2，3)，＝(6，－3)，可得＝(4，－6)， 又因为点P是线段AB的三等分点， 则＝或＝， 所以＝或＝， 即P点的坐标为或. 答案：C 【填空题】每小题5分 6．已知向量a＝(8，－2)，b＝(m，1)，c＝(4，2)，若a＋b＝λc，则实数m＝________． 解析： a＋b＝(8＋m，－1)，λc＝(4λ，2λ)，∵a＋b＝λc，∴8＋m＝－2，m＝－10. 答案：－10 7．向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1，1)，若a∥b，则tan θ＝________． 解析：向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1，1)，若a∥b，则2sin θ－cos θ＝0，所以cos θ＝2sin θ，则tan θ＝. 答案： 8．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且，则点M的坐标为______． 解析：由题意得＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)，所以＝(3，24)．设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)＝(3，24)，所以解得故点M的坐标为(0，20)． 答案：(0，20) 【解答题】每小题10分 9．已知a＝，B点坐标为(1，0)，b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标． 解：∵b＝(－3，4)，c＝(－1，1)， ∴3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝. 又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)， ∴解得 ∴A点坐标为(8，－10)． 10．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)． (1)求|a－2b|和|a＋b|； (2)当k为何值时，ka－2b与a＋b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)， 则a－2b＝(－3，7)，a＋b＝(3，－2)， 所以|a－2b|＝＝. (2)依题意，ka－2b＝(k，k)－(4，－6)＝(k－4，k＋6)， 由(1)知a＋b＝(3，－2)， 由3(k＋6)－(－2)(k－4)＝0，解得k＝－2， 于是当k＝－2时，ka－2b与a＋b共线，且ka－2b＝－2(a＋b)，即有ka－2b与a＋b方向相反，所以当k＝－2时，ka－2b与a＋b共线，并且它们反向共线． 【选择题】每小题5分 11．(多选)已知向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，若a∥b，则以下结论正确的是(　　 ) A．m＝1时a与b同向 B．m＝－1时a与b同向 C．m＝2时a与b反向 D．m＝－2时a与b反向 解析： ∵a∥b，则m(m＋1)＝2，即m＝1或m＝－2，当m＝1时，a＝(1，2)，b＝(1，2)，a＝b，a与b的方向相同，故A成立；当m＝－2时，a＝(－2，2)，b＝(1，－1)，a＝－2b，a与b的方向相反，故D成立． 答案：AD 12．已知P1(3，2)，P2(9，11)，点P(5，y)分所成的比为λ，则y与λ的值分别为(　　 ) A．y＝8，λ＝2 B．y＝ C．y＝ D．y＝5，λ＝ 解析：∵P1(3，2)，P2(9，11)，P(5，y)，∴＝(2，y－2)，＝(4，11－y)，∵P分所成的比为λ，∴即(2，y－2)＝λ(4，11－y)＝(4λ，11λ－λy)， ∴解得 答案：D 【填空题】每小题5分 13．平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC延长至E，使＝，则点E的坐标为________． 解析：∵，∴A为BC的中点，， 设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)，∴C点的坐标为(3，－6)， 又＝. 设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)， 得解得故点E的坐标是. 答案： 14．向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝_______． 解析：以O为坐标原点，建立坐标系可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)．∴解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4. 答案：4 【解答题】每小题10分 15．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求的坐标，并判断是否共线． 解：由已知可得M(2.5，2.5)，N(1.5，0.5)， 所以＝(2.5，2.5)，＝(－2.5，－2.5)， 又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以共线． 16．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标． 解：设P(x，y)， 则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)． 由B，P，D三点共线可得＝(5λ，4λ)． 又∵＝(5λ－4，4λ)， 由与共线得(5λ－4)×6＋12λ＝0，解得λ＝， ∴，∴P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$