课下巩固训练（8）平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(八)　平面向量的正交分解及坐标表示　平面向量加、减运算的坐标表示 【选择题】每小题5分 1．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　 ) A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 解析：＝(－3，－1)＋(－4，－3)＝(－7，－4)． 答案：A 2．下列各式正确的是(　　 ) A．若a＝(－2，4)，b＝(3，4)，则a－b＝(1，0) B．若a＝(5，2)，b＝(2，4)，则b－a＝(－3，2) C．若a＝(1，0)，b＝(0，1)，则a＋b＝(0，1) D．若a＝(1，1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2，1) 解析：由向量加、减法的坐标运算可得． 答案：B 3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　 ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 解析： x2＋x＋1＝＞0，x2－x＋1＝＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限． 答案：D 4．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＝(　　 ) A．(－2，4) B．(4，6) C．(－6，－2) D．(－1，9) 解析：在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3)．又＝(－1，2)，所以＝(1，5)，＝(－3，－1)，所以＝(－2，4)． 答案：A 5．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是(　　 ) A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2 C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y) 解析：由平面向量基本定理，可知A正确； 例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误； 因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误； 当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误． 答案：BCD 6．已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加一个力F3，则F3＝(　　 ) A．(1，－5) B．(－1，5) C．(5，－1) D．(－5，1) 解析：根据力的合成可知F1＋F2＝(1－2，2＋3)＝(－1，5)，因为物体保持静止即合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，即F3＝(1，－5). 答案：A 【填空题】每小题5分 7．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________． 解析：不妨设i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝(1，－2)． 答案：(1，－2) 8．已知向量a＝(－3，4)，＝2a，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为________． 解析：设点B(x，y)，因为＝2a，则(x－3，y＋4)＝(－6，8)，解得x＝－3，y＝4.故点B(－3，4)． 答案：(－3，4) 【解答题】每小题10分 9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 解：由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴， 因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4，3)． 又，所以＝－4i＋3j，所以＝(－4，3)． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 解：(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×，AM＝OA·sin 45°＝4×， ∴A，故a＝. ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°. 又OC＝AB＝3，∴C， ∴＝，即b＝. (2)＝. (3)＝＋＝， 即点B的坐标为. 【选择题】每小题5分 11．(多选)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　 ) A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j C．＝－5i＋j D．＝5i＋j 解析：由图知，＝－3i＋4j，故A正确，B不正确；＝5i－j，故C正确，D不正确． 答案：AC 【填空题】每小题5分 12．如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝_____. 解析：＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 13．已知O是坐标原点，点A在第二象限，＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________． 解析：设点A(x，y)，则x＝cos 150°＝6cos 150°＝－3，y＝sin 150°＝6sin 150°＝3，即A，所以＝. 答案： 14．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于________． 解析：设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a⊗b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝. 答案： 【解答题】每小题10分 15．如图，在平面直角坐标系中，＝2＝2，＝，∠OAB＝. (1)求点B的坐标； (2)求证：OC∥AB. 解：(1)由题意，因为∠OAB＝＝1， 故＝(，sin )＝， 故＝(2，0)＋＝，即点B的坐标为. (2)由题意，＝＋＝， 又＝，故，且不共线，故OC∥AB. 学科网（北京）股份有限公司 $$