课下巩固训练（7）平面向量基本定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(七)　平面向量基本定理 【选择题】每小题5分 1．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以，即，所以＝3n－2m＝－2m＋3n. 答案：B 2．(多选)设e1，e2是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是(　　 ) A．e1＋e2与e1 B．e1－2e2与e2－2e1 C．e1－2e2与4e2－2e1 D．e1＋e2与e1－e2 解析：对A，设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1与e1＋e2不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底；对B，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)＝λe2－2λe1，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底；对C，因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底；对D，设e1＋e2＝λ(e1－e2)＝λe1－λe2，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底． 答案：ABD 3．(2024·河南焦作检测)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ－μ＝(　　 ) A．－1 B．3 C．1 D．－3 解析：根据图象， 根据平面向量基本定理，可知a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，λ－μ＝－2－1＝－3. 答案：D 4．(多选)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　 ) A．－ B． C． D． 解析：＝ . 答案：ABD 5．设一直线上三点A，B，P满足(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则用、表示为(　　 ) A． B．＋(1＋λ) C． D． 解析：∵＋＝，∴(1＋λ)，∴. 答案：C 【填空题】每小题5分 6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝______. 解析：∵e1，e2不共线，∴解得∴x＋y＝0. 答案：0 7．(2024·北京通州阶段检测)在△ABC中，，且，则λ＝________． 解析：∵＝＝＋ ＝，∴3，即λ＝3. 答案：3 8．设e1，e2是平面内一组基，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基的线性组合，即e1＋e2＝________． 解析：由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝，代入①可求得e1＝，所以e1＋e2＝． 答案： 【解答题】每小题10分 9．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设＝b. (1)试用a，b表示； (2)求的值． 解：(1)∵D是边BC上一点，DC＝2BD， ∴，又∵＝b，得＝b－a， ∴(b－a)＝ ． (2)∵|a|＝＝＝＝1，∠BAC＝120°， ∴a·b＝|a||b|cos ∠BAC＝－， ＝·(b－a)＝ . 10．设a，b是平面内的一组基底，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线． 证明：因为＝a＋5b＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2a＋10b＝2(a＋5b)＝2，所以与共线． 又因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线． 【选择题】每小题5分 11．(多选)已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，给出以下结论，其中正确的结论是(　　 ) A．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2 B．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2 C．存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 D．不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 解析：若a与b共线，则可得λa＝b(λ∈R)，即2λe1－λe2＝ke1＋e2，由e1与e2不共线得2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，所以A正确，B错误．若e1与e2共线，则可得e1＝me2(m∈R)，则a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1＋e2＝(km＋1)e2，可得a与b共线，所以C错误，D正确． 答案：AD 12．如图，平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P，若，则x＋y＝(　　 ) A.1 B． C． D．2 解析：因为平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P，所以＝2，所以，又，所以x＝y＝，. 答案：B 13．(多选)在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，CM与BN交于P点，若，则(　　 ) A． B． C． D． 解析：如图所示， 设，由，可得，因为C，P，M共线，所以＝1，解得m＝，因为N，P，B共线，所以＝1，解得n＝，故，即. 答案：AC 【解答题】每小题10分 14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点，设＝b. (1)用a，b表示； (2)如果|a|＝，用向量的方法证明EF⊥EG. 解：(1)由题意，． (2)由(1)得＝·＝－×b2＝0， 所以EF⊥EG. 【选择题】每小题5分 15．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　 ) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析：如图，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交直线OP2于点B， 则，又，所以.又与方向相同，与方向相反，所以a>0，b<0. 答案：B 16．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为(　　 ) A． B．2 C． D． 解析：设.∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1. ∵，则x＋y＝2，(x＋y)＝＝，当且仅当，即x＝时取等号，∴的最小值为. 答案：D 学科网（北京）股份有限公司 $$