课下巩固训练（6）向量的数量积(二)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(六)　向量的数量积(二) 【选择题】每小题5分 1．已知向量|a|＝2，b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝(　　 ) A．4 B．8 C．－8 D．－4 解析：由b在a上的投影向量为＝－2a，得a·b＝－8. 答案：C 2．若向量a，b满足|a|＝1，(a＋2b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　 ) A．2 B． C．1 D． 解析：因为(a＋2b)⊥a，(2a＋b)⊥b， 所以(a＋2b)·a＝0，(2a＋b)·b＝0， 即a2＋2a·b＝0，2a·b＋b2＝0， 整理得b2＝a2＝1，解得|b|＝1. 答案：C 3．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，3m×32＋(5m－3)×3×2×cos 60°－5×22＝0，解得m＝. 答案：C 4．已知向量a，b满足|a|＝＝2，|a－2b|＝，则a·b＝(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：由向量a，b满足|a|＝＝2，因为|a－2b|＝2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＋4×4＝5，解得a·b＝4. 答案：D 5．设O是△ABC所在平面内一定点，M是平面内一动点，若·＝·＝0，则点O是△ABC的(　　 ) A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 解析：由题意可得＝0，则OA⊥CB，OC⊥AB，故点O是△ABC的垂心． 答案：A 【填空题】每小题5分 6．在△ABC中，记＝n，则·＝_______． 解析：因为＝n－m，所以·＝(n－m)·(n＋m)＝n2－m2. 答案：n2－m2 7．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________. 解析：设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝. 答案： 8．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，即2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝. 答案： 【解答题】每小题10分 9．已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝ . (1)求证：(2e1－e2)⊥e2； (2)若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且|m|＝|n|，求λ的值． 解：(1)因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝， 所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－＝22＝2×1×1×－1＝0， 故(2e1－e2)⊥e2. (2)由|m|＝|n|，得(λe1＋e2)2＝(3e1－2e2)2， 即， 由|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，即λ2＋λ＋1＝9－6＋4， 则λ2＋λ－6＝0，解得λ＝－3或λ＝2. 10．(2024·江苏无锡阶段练习)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知e1，e2为两个夹角成60°的单位向量，＝－3e1＋2e2. (1)求； (2)求的夹角； (3)设＝te1，若△ABC是以AC为斜边的直角三角形，求实数t的值． 解：(1)＝－5e1＋e2， 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝， 所以＝. (2)＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－， ＝， ＝， 所以cos 〈〉＝，〈〉∈[0，π]， 所以〈〉＝. (3)＝－5e1＋e2， ＝(t＋3)e1－2e2， 由题意可知，⊥， 所以(－5e1＋e2)·[(t＋3)e1－2e2]＝－5＋(t＋13)e1·e2＝0， 即－5(t＋3)－2＋(t＋13)＝0，得t＝－. 【选择题】每小题5分 11．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝b，则下列结论正确的是(　　 ) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 解析：分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A结论错误； ∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2·cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确； a·b＝1×2·cos 120°＝－1，故D结论正确． 答案：CD 12．若a，b都为非零向量，且a⊥(a＋2b)，|a＋3b|＝|2a－b|，则向量a，b的夹角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：因为a⊥(a＋2b)，|a＋3b|＝，"所以"即化简得a2＝b2＝－2a·b，所以|a|＝|b|＝.所以cos 〈a，b〉＝.因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝. 答案：D 【填空题】每小题5分 13．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________． 解析：由c⊥a得，a· c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝，所以向量a与b的夹角θ＝120°. 答案：120° 14．如图，在圆C中弦AB的长度为6，则＝_________． 解析：如图，取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB. ∵在圆C中弦AB的长度为6，∴＝·×6×6＝18. 答案：18 【选择题】每小题5分 15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为(　　 ) A．(0，16] B．[0，16] C．(0，4) D．[0，4] 解析：取CD的中点E，连接PE，如图所示， 所以PE的取值范围是，即[2,]又由＝·＝－4，所以∈[0，16]. 答案：B 16．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为(　　 ) A．50 B．48 C．60 D．72 解析：依题意，连接AC，在△ACE中，AE＝CE＝4，∠AEC＝120°，则∠CAD＝∠ACE＝30°，AC＝4，AD＝8，因此·＝＝〉＝4cos 〈〉＝48＋12cos 〈〉≤48＋12＝60，当且仅当与同向时取等号，所以的最大值为60. 答案：C 学科网（北京）股份有限公司 $$