课下巩固训练（5）向量的数量积(一)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(五)　向量的数量积(一) 【选择题】每小题5分 1．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　　 ) A． B． C．(] D．() 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＜0，∴cos θ＜0.又θ∈[0，π]，∴θ∈. 答案：C 2．(多选)以下命题不正确的是(　　 ) A．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0 B．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 C．a与b是两个单位向量，则a2＝b2 D．若△ABC是等边三角形，则的夹角为60° 解析：题述命题中只有C正确．因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然A，B错误；根据两个向量夹角的概念，的夹角应为120°. 答案：ABD 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　 ) A． B． C．1＋ D．2 解析： a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋. 答案：B 4．已知a·b＝－12＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝(　　 ) A．12 B．3 C．6 D．3 解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12＝4，解得|b|＝6. 答案：C 5．(2024·天津南开高一检测)向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为(　　 ) A．5 B．－5 C．－5 D．5 解析：由题意得，所求投影向量为，所以所求投影向量的模为＝10×＝5. 答案：D 【填空题】每小题5分 6．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为________． 解析：如图，与的夹角为∠ABC＝120°. 答案：120° 7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________． 解析：设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 答案： 8．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为_________． 解析：a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×＝e. 答案：e 【解答题】每小题10分 9．已知|a|＝5，|b|＝4. (1)若a与b的夹角为θ＝120°， ①求a·b； ②求a在b上的投影向量． (2)若a∥b，求a·b. 解：(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. ②a在b上的投影向量为． (2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. 10．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值； (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？ 解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝＋. ∵b是非零向量，∴|b|≠0，∴当t＝－＝|a＋tb|的值最小． (2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0， ∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u. 【选择题】每小题5分 11．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝(　　 ) A. 20 B． C. 2 D． 解析：由题意，知a＝－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝. 答案：C 12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　 ) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 解析： cos θ＝，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝＝2×5×＝8. 答案：A 【填空题】每小题5分 13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则| a＋2b |＝________． 解析：方法一：|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝. 方法二：利用如下图形，可以判断出a＋2b的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为2. 答案：2 【解答题】每小题10分 14．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且. (1)若，求x，y的值； (2)若＝4，＝2，且与的夹角为60°，求的值． 解：(1)若，则，故x＝y＝. (2)因为＝4，＝2，∠BOA＝60°，所以∠OBA＝90°，所以＝2. 又因为，所以＝， 所以＝，cos ∠OPB＝. 所以与的夹角θ的余弦值为－， 所以＝cos θ＝－3. 【选择题】每小题5分 15．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝2，则＝(　　 ) A．2 B．4 C．3 D． 解析：根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得＝·，由AD⊥AB，可知＝0，又因为＝2，所以·cos ∠ADB＝×2×. 答案：B 【填空题】每小题5分 16．(2024·广东佛山高一检测)如图，正六边形ABCDEF边长为1，记＝a，从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为b的起点和终点，则a·b的最大值为________． 解析：由于a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为a与b的夹角，要使a·b最大，而|a|是定值，只需|b|及cos θ最大即可，当cos θ最大时取cos θ＝1，此时θ＝0°，即a∥b且a与b同向，要使|b|最大又要使a∥b且a与b同向，则b＝，此时a·b的最大值为(a·b)max＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 0°＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$