课下巩固训练（4）向量的数乘运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(四)　向量的数乘运算 【选择题】每小题5分 1．已知向量a，b，则2(a＋b)－(a－b)＝(　　 ) A．a＋b B．a－b C．3a＋b D．a＋3b 解析：由题意2(a＋b)－(a－b)＝2a＋2b－a＋b＝a＋3b. 答案：D 2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　 ) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 解析：C错误，由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.D错误，由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n. 答案：AB 3．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　 ) A． B． C． D． 解析：由题意可知：；.故只有D正确． 答案：D 4．(多选)下列命题正确的有(　　 ) A．(－5)(6a)＝－30a B．7(a＋b)＋6b＝7a＋13b C．若a＝m－n，b＝3(m－n)，则a，b共线 D．(a－5b)＋(a＋5b)＝2a，则a，b共线 解析：对于A，(－5)(6a)＝(－5×6)a＝－30a，故正确；对于B，7(a＋b)＋6b＝7a＋7b＋6b＝7a＋13b，故正确；对于C，因为a＝m－n，b＝3(m－n)，所以b＝3a，所以a，b共线，故正确；对于D，因为(a－5b)＋(a＋5b)＝2a恒成立，所以a，b不一定共线，故错误． 答案：ABC 5．设D为△ABC所在平面内一点，，则(　　 ) A． B． C． D． 解析：由题意得＝＝＝＝. 答案：A 【填空题】每小题5分 6．化简：[(4a－3b)＋(6a－7b)]＝________. 解析：[(4a－3b)＋(6a－7b)]＝＝＝． 答案： 7．如图，在正六边形ABCDEF中，＝______． 解析：由题意，根据正六边形的性质得－＋2＝0. 答案：0 8．在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则m＝________． 解析：因为E为AD的中点，所以，因为B，D，C三点共线，所以＋(1－λ)，所以＋2m＝1，解得m＝. 答案： 【解答题】每小题10分 9．已知a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线，问是否存在实数，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ 解：由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2， 若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2， 即解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线． 10．如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设＝b，试用a，b表示向量. 解： 因为＝b，所以 解得． 【选择题】每小题5分 11．如图，在△ABC中，，则＝(　　 ) A. － B． C． D. － 解析：由平面向量的三角形法则，可知－． 答案：D 12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＝0.则(　　 ) A． B． C． D. 2 解析：因为D为BC的中点，所以，所以2＝0，所以，所以. 答案：B 13．点P是△ABC所在平面内一点，若，其中λ∈R，则点P一定在(　　 ) A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 解析：∵，∴.∴.∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上． 答案：B 【填空题】每小题5分 14．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH中，若 (x，y∈R)，则x＋y＝________． 解析：如图，连接CH，不妨设AB＝2，则CH＝2＋2，即＝，∴＝＝，则x＝＋1，y＝1，故x＋y＝＋2. 答案：＋2 15．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 解析： 因为，所以.所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点．所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 答案：2∶3 【解答题】每小题10分 16．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线． 证明：， 因为， 所以　①， 　②， 由①、②可知，即∥， 又因为MC，MN有公共点M， 所以M，N，C三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$