章末总结(六) 平面向量及其应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结(六)　平面向量及其应用 [知识体系建构·关键理清] [高频考点聚焦·整合提升]　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一 平面的线性运算及其应用 [训练1]　已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D. a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(5－2×(－4)＋3x，－2－2×(－3)＋3y)＝(13＋3x，4＋3y)＝0，所以所以 [训练2]　在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________． 解析：∵＝2，∴＝.∵＝，∴＝(＋)，∴＝－＝(＋)－＝－.又＝x＋y，∴x＝，y＝－. 答案：　－ [训练3]　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，. 解：∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2. ∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2. 又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2. 题型二__平面向量数量积的运算 [训练4]　若对于向量a，b，c，a是一个单位向量，|b|＝，a与b的夹角为，c＝b－2a，则c·a＝(　　 ) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：选D. 因为a是一个单位向量，|b|＝，a与b的夹角为，所以a·b＝1××cos ＝1，所以c·a＝(b－2a)·a＝b·a－2a2＝1－2＝－1. [训练5]　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝________． 解析：因为·＝(＋)·(－＋)＝－2－·＝－3，所以·＝. 答案： [训练6]　如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝2，AD＝，∠BAD＝90°.若P为线段AB上一动点，则·的最大值为______． 解析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(3，0)，C(2，)，D(0，)，设P(x，0)，其中0≤x≤3，则＝(x－2，－)，＝(x，－)，∴·＝x(x－2)＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 当x＝3时，·有最大值6. 答案：6 题型三__平面向量的平行与垂直、夹角与模的问题 [训练7]　(多选)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|b－2a|＝，则以下结论正确的是(　　 ) A．a⊥b B．|a＋b|＝2 C．|a－b|＝ D．向量a，b夹角为60° 解析：选AC.|b－2a|＝|b|2＋4|a|2－4a·b＝5，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，故a⊥b，所以A正确，D不正确；|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝，所以B不正确，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，C正确． [训练8]　(多选)已知单位向量a，b的夹角为θ，则下列结论正确的有(　　 ) A．(a＋b)⊥(a－b) B．a在b方向上的投影向量为(a·b)b C．若|a＋b|＝1，则θ＝60° D．若(a＋b)·a＝(a－b)·a，则a∥b 解析：选AB. 因为a，b都是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，故A正确；a在b方向上的投影向量为|a|cos θ＝|a|··，故B正确；若|a＋b|＝1，则a2＋2a·b＋b2＝1，即a·b＝－，即cos θ＝－，因为0≤θ≤180°，所以θ＝120°，故C错误；若(a＋b)·a＝(a－b)·a，则a2＋a·b＝a2－a·b，所以a·b＝0，即a⊥b，故D错误． 题型四__正、余弦定理及其应用 [训练9]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选B. 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sinA＝1，所以A＝，故△ABC为直角三角形． [训练10]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝. [训练11]　在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离以方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队从A到D修建的一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为(　　 ) A． km B． km C． km D． km 解析：选A.如图，连接AC，在Rt△ABC中，AC＝＝，cos ∠ACB＝， sin ∠ACB＝，所以cos ∠ACD＝cos (120°－∠ACB)＝cos 120°cos ∠ACB＋sin 120°sin ∠ACB＝(－)×＋×＝.在△ACD中，由余弦定理，得AD＝＝＝.故A，D间的距离为 km. [训练12]　在△ABC中，B＝45°，AC＝，cos C＝. (1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长． 解：(1)由cos C＝，得sin C＝， sin A＝sin (180°－45°－C)＝sin (135°－C)＝(cos C＋sin C)＝. 由正弦定理，得BC＝·sin A＝×＝3. (2)由正弦定理，得AB＝·sin C＝×＝2，BD＝AB＝1. 由余弦定理，得CD＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$