8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体 学习目标　1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．　2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．　3.了解简单组合体的概念及结构特征． 一、旋转体的结构特征 【情境导思】　观察下面的几何体，思考下列问题： 问题1　上述几何体的表面与多面体的表面有何不同？ 提示：表面是曲面． 问题2　上述四种几何体中的曲面能否以某种平面图形旋转而成？ 提示：可以． 问题3　如何形成上述几何体的曲面？ 提示：以矩形一边所在直线为旋转轴，旋转一周可形成(1)， 以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周形成(2)， 以直角梯形的垂直于底的腰为旋转轴旋转一周形成(3)， 以半圆的直径为旋转轴旋转一周形成(4). 【知识提炼】　 1．圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 2.圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥． 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 3.圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图示及相关概念 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 小思考　(1)用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台？ 提示：不一定．只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台． (2)圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？ 提示：正确．由于圆台是由圆锥截得，故两条母线所在的直线一定相交． 4．球的结构特征 定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段 例1　(1)下列说法不正确的是(　　 ) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 解析：选C.由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错． (2)(多选)下列命题正确的是(　　 ) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 解析：选BD.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误． 感悟升华　简单旋转体结构特征问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键． (2)解题时要注意明确两点： ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． 【即学即用】　1.判断下列各命题是否正确． (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台； (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球． 解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴． (2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示． (3)正确． (4)错误．应为球面． 二、简单组合体的结构特征 问题4　下图为中国空间站“天和”核心舱飞行器的结构示意图，图中标注的①②③部分分别为什么几何体？ 提示：①为圆柱，②为圆台，③为圆柱． 【知识提炼】　 1．简单组合体的定义 由简单几何体组合而成的几何体． 2．简单组合体的两种基本形式 (1)由简单几何体拼接而成； (2)由简单几何体截去或挖去一部分而成． 例2　如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？ 解：旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的． 感悟升华　判断旋转体结构特征的方法 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得． (2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状． 【即学即用】　2. 描述下列几何体的结构特征． 解：图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体． 三、旋转体中的有关计算问题 例3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解：设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r，4r，过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm， 所以＝，所以＝＝， 解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm. 变式探究　1.把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm”，则它的轴截面的面积是________. 解析：画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M， 则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)， 所以S四边形ABCD＝＝63(cm2). 答案：63 cm2 2．把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6，底面半径为3，把该圆锥截成一圆台，截得圆台的母线长为4”，则圆台的另一底面半径为________. 解析：作轴截面如图，则＝＝，所以r＝1. 答案：1 感悟升华　与旋转体有关问题的计算方法 (1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化． (2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键． 【即学即用】　3.已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是________cm. 解析：如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可．由已知，R＝10 cm，由πr2＝36π cm2，得r＝6 cm，所以d＝＝＝8(cm). 答案：8 1．圆台的侧面展开图是(　　 ) A．三角形 B．长方形 C．扇形 D．扇环 答案：D 2．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　 ) A．5 B．10 C．20 D．不确定 解析：选B.圆柱的母线长与高相等，则其高等于10. 3．如图，日常生活中常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　 ) A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱 C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱 答案：B 4．若圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于______． 解析：如图，设圆锥SO的高为h，底面半径为r，母线长为l，则h＝r，l＝5.又l2＝h2＋r2，则l2＝2r2，即(5)2＝2r2，解得r＝5. 答案：5 5．右图为在某竞赛中获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的． 解：奖杯由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组成． 学科网（北京）股份有限公司 $$