8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体 导学1 旋转体的结构特征 给出下列实物图： 上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ [提示]　它们不是由平面多边形围成的． 上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？ [提示]　可以． 如何形成上述几何体的曲面？ [提示]　可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在的直线为轴旋转而成． ◎结论形成 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图可表示为圆柱OO′ 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′ 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O 导学2 简单组合体 1.简单组合体的概念 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　) (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(　　) (3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　) (4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图所示的图形中有(　　) A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥 C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球 解析　根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B. 答案　B 3．圆锥的截面形状不可能为(　　) A．等腰三角形　　　 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 解析　对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，不符合题意；对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，符合题意；对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，不符合题意；对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，不符合题意． 答案　B 4．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于________． 解析　设底面半径为r，高为h，则h＝r，如图取圆锥的轴截面，由勾股定理可得r2＋h2＝(5)2，即2r2＝50，r＝5. 答案　5 (多选题)下列说法中，正确的有(　　) A．圆柱的底面是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 [解析]　A正确，圆柱的底面是圆面； B正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； C不正确，圆台的母线延长相交于一点； D不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体． [答案]　AB 1．判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．　 [触类旁通] 1．(1)(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 (2)(多选题)给出以下说法，正确的有(　　) A．球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长 B．球的直径是球面上任意两点间所连线段的长 C．用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形 D．过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形 解析　(2)根据球的定义知，A正确；B不正确，因为球的直径必过球心；C不正确，因为球的任何截面都是圆；D正确． 答案　(1)BD　(2)AD 描述下列几何体的结构特征． [解析]　图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体． 识别简单组合体的要求 (1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数． (2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．　 [触类旁通] 2．如图为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？ 解析　奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成． 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． [解析]　设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r. 过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. ∴＝. ∴＝＝. 解得l＝9(cm)， 即圆台的母线长为9 cm. [母题变式] 例3中若圆台的上底面半径为1 cm，其他条件不变，试求圆台的高． 解析　∵圆台的上底面半径为1，故下底面半径为4. 如图所示，在Rt△A′HA中 A′H＝ ＝＝6. 即圆台的高为6 cm. [素养聚焦]　通过旋转体中的计算，把数学运算、直观想象体现在解题过程中． 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．　 [触类旁通] 3．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________ cm. 解析　如图所示， 由题意知，北纬30°纬线所在小圆的周长为12π cm， 则该小圆的半径r＝6 cm，其中∠ABO＝30°， 所以该地球仪的半径R＝＝4(cm)． 答案　4 知识落实 技法强化 (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征． (2)球的结构特征． (3)简单组合体的结构特征. 同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的. 学科网（北京）股份有限公司 $$