7.1.2 复数的几何意义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．1．2　复数的几何意义 学习目标　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念．　3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 一、复数的几何意义 【情境导思】　伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一，在前人研究的基础上给出复数的几何表示，在1799年，1815年，1816年对代数基本定理作出的三个证明中，都假定了复数和平面直角坐标上的点一一对应，但直到1831年他才对复平面作出详细的说明．此后，人们才接受了复平面的思想，有些人还把复平面称为高斯平面． 问题1　高斯认为复数z＝a＋bi(a, b∈R)与有序实数对(a, b)之间有什么对应关系？ 提示：一一对应． 问题2　有序实数对(a, b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？ 提示：一一对应． 问题3　实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 提示：不对．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 【知识提炼】　 1．复平面 2．复数的几何意义 微提醒 (1)复平面内的点Z的坐标是(a, b)，而不是(a, bi).也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0, b)(b≠0)都表示纯虚数． (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a, b)中的Z，书写时应大写． 例1　(1)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　 ) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i 解析：选D. 由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3, 2)，＝－＝(2，－3)－(－3, 2)＝(5，－5)，所以对应的复数是5－5i. (2)已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围). ①在实轴上；②在第三象限． 解：①若对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝. ②若z对应的点在第三象限，则有解得－1<a<， 故a的取值范围是. 变式探究　本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值． 解：若z对应的点(a2－1, 2a－1)在抛物线y2＝4x上，则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，得a＝. 感悟升华　(1)复数与向量的对应和转化 ①对应：复数z与向量是一一对应关系． ②转化：复数的有关问题转化为向量问题求解． (2)利用复数与点的对应解题的步骤 ①找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． ②列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 【即学即用】　1.(1)若复数z＝m＋1＋(m－1)i(m∈Z)对应的点在第四象限，则m的值为(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．±1 解析：选B. 由可得－1<m<1，又m为整数，所以m＝0. (2)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________． 解析：复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i. 答案：2－i 二、复数的模 问题4　|z|与向量的模之间是一一对应的吗？ 提示：是． 问题5　两个虚数是不能比较大小的，两个虚数的模能比较大小吗？ 提示：复数的模就是复数的长度，它是一个实数，所以两个虚数的模是能够比较大小的． 【知识提炼】　 1．定义 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值． 2．记法 记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值). 例2　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？ 解：(1)|z1|＝|＋i|＝＝2，|z2|＝＝1，所以|z1|>|z2|. (2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)， 由|z|＝|z1|＝2得＝2，即x2＋y2＝4， 所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)， 所以Z到原点的距离为2， 所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 感悟升华　复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【即学即用】　2.已知复数z＝a－bi(a，b∈R，b<0)，满足|z|＝1，复数z的实部为，则复数z的虚部为(　　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.因为复数z的实部为，所以a＝. 因为|z|＝1，所以|z|＝＝1，解得b＝－或b＝(舍去)， 所以复数z的虚部为. 三、共轭复数 问题6　和之间有什么关系？ 提示：关于x轴对称． 问题7　||与|z|的模之间有什么关系？ 提示：||＝|z|. 【知识提炼】　 1．共轭复数的概念 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 2．记法 复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. 例3　(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 解析：选AD. 根据共轭复数的定义可知A正确；根据共轭复数的定义可知，实数的共轭复数是它本身，故B错误；互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故C错误；根据复数模的定义可知D正确． 感悟升华　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称，特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 【即学即用】　3.设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.由已知可得，＝－3－2i，故对应的点为(－3，－2)，位于第三象限． 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限． 2．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数等于(　　 ) A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 答案：B 3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 解析：选A. 依题意可得＝2，解得m＝1或3. 4．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________． 解析：复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3. 答案：3 5．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x轴的负半轴上． 解：(1)由得所以－7<m<3. (2)由得所以m＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$