6.4.3 第1课时 余弦定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．4．3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．　2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 一、余弦定理 问题1　根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2ab cos C　①.试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 提示：当a＝b＝c时，∠C＝60°，a2＋b2－2ab cos C＝c2＋c2－2c·c cos 60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2ab cos C. 问题2　在c2＝a2＋b2－2ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明问题1的猜想吗？ 提示：ab cos C＝||||cos ，＝·.问题1中a2＋b2－2ab cos C＝2＋2－2·＝(－)2＝2＝c2，猜想得证． 【知识提炼】　 公式表达 语言叙述 推论 a2＝b2＋c2－2bc_cos_A 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 cos A＝ b2＝c2＋a2－2ca_cos_B cos B＝ c2＝a2＋b2－2ab_cos_C cos C＝ 拓展深化　余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 小思考　余弦定理与勾股定理有什么关系？ 提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 【即学即用】　1.(1)在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　 ) A． B．8 C．10 D．7 解析：选D. 由余弦定理，得c＝＝＝7. (2)在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　 ) A．60° B．45° C．120° D．30° 解析：选C.由cos A＝＝－，且0°<A<180°，∴A＝120°. (3)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________． 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴2cos C＝1，∴cos C＝. 答案： 二、已知两边及一角解三角形 例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值． 解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理的推论得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 感悟升华　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 【即学即用】　2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c＝(　　 ) A. 4 B． C. 3 D． 解析：选D. cos C＝－cos (A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝. 三、已知三边解三角形 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 解：根据余弦定理，得cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝，∴B＝π－A－C＝π－－＝π， ∴A＝，B＝π，C＝. 变式探究　若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　　 ) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D．∶∶2 解析：选A. 设三角形三边长分别为m，m，2m(m＞0)，最大角为A，则cos A＝＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cos B＝＝，∴B＝30°，∴C＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3. 感悟升华　(1)已知三角形的三边解三角形，可利用余弦定理的推论，先求角的余弦值，再求角． (2)涉及三边的二次齐次式解三角形，要构造余弦定理推论的形式来求角． 【即学即用】　3.在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝，则最大角为________． 解析：∵>4>3，边c最大，则角C最大．又cos C＝＝＝－，∴最大角C＝120°. 答案： 120° 四、利用余弦定理判断三角形的形状 例3　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状． 解：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C， 由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2－c2＝2bc××， ∴b2＋c2＝＝＝a2，∴A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 感悟升华　利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两个思路： (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理． 【即学即用】　4.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B cos C，试确定△ABC的形状． 解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc. 而a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝，∴∠A＝60°. 又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos Bsin C，sin A＝2sin B cos C， ∴sin B cos C－cos B sin C＝0，即sin (B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴A＝B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形． 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　 ) A．c2＝a2＋b2－2ab cos C B．c2＝a2－b2－2bc cos A C．b2＝a2－c2－2bc cos A D．cos C＝ 解析：选A. 由余弦定理及其推论知只有A正确． 2．在△ABC中，若a＝2，c＝3，cos B＝－，则b＝(　　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C.△ABC中，若a＝2，cos B＝－，由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×(－)＝16，则b＝4. 3．若在△ABC中，2a cos B＝c，则三角形的形状一定是(　　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：选B. 由2a cos B＝c以及余弦定理得2a·＝c，化简得a＝b，所以三角形的形状一定是等腰三角形． 4．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________. 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$