6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标　1.认识实际测量中的有关名称和术语．　2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题． 一、测量距离问题 例1　如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定观测点A，B，并测得A，B间的距离为20 m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则C，D两点间的距离为多少？ 解：在Rt△ABC中，BC＝AB tan ∠CAB＝20×tan 30°＝20， 在△ABD中，∠ADB＝180°－∠DAB－∠ABD＝45°， 由正弦定理得＝，所以BD＝＝20×(×＋×)×＝10(3＋)， 在△BCD中，由余弦定理可得DC2＝202＋100(3＋)2－2×20×10(3＋)×cos 30°＝1 000，解得DC＝10. 感悟升华　测量距离的基本类型及方案 类型 图形 方法 A，B两点间不可通或不可视 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB A，B两点间可视，但有一点不可达 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB A，B两点都不可达 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 【即学即用】　1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 解析：过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D(图略)，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，则AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60(m). 答案：60 二、测量高度问题 例2　山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度(结果精确到0.1 m，取sin 55°≈0.82). 解：由题知，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°，在△BCD中，由正弦定理得＝， 则BD＝＝≈≈70.73 m. 在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°， 所以AB＝BD tan ∠ADB＝BD≈70.73 m， 故黄河楼的实际高度约为70.7 m. 感悟升华　解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用几何知识与方程思想． 【即学即用】　2.(1)为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝100 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则该建筑物的高度AB＝______m. 解析：在△BCD中，∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，则∠CBD＝30°，由正弦定理得BC＝＝＝100，在Rt△ABC中，AB⊥BC，∠ACB＝60°，则AB＝BC tan 60°＝300，所以该建筑物的高度AB＝300 m. 答案：300 (2)如图，风景秀美的宝湖公园有一棵高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点间的距离为20 m，则这颗银杏树的高度为________m. 解析：在△ABC中，AB＝20，∠A＝30°，∠ACB＝15°，sin 15°＝sin (45°－30°)＝×－×＝，由正弦定理得＝，则BC＝＝10(＋)，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，因此CD＝BC sin 45°＝10(＋)×＝10(＋1)，所以这颗银杏树的高度为10(＋1) m. 答案：10(＋1) 三、测量角度问题 例3　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 kn的速度追截走私船．此时，走私船正以10 kn的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t， 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC＝，且sin ∠ABC＝·sin ∠BAC＝×＝， ∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角． ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得sin ∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 感悟升华　测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 【即学即用】　3.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1) n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以10 kn的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1 h后开始持续影响基地2 h．求台风移动的方向． 解：如图所示， 设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20. 由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)·10. 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝. 所以∠BAC＝30°， 又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向， 又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°. 1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　 ) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上 解析：选C.如图所示． 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　 ) A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β. 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　 ) A．a km B．a km C．a km D．2a km 解析：选A.△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a. 4．一船以15 km/h的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图所示，AC＝15×4＝60，∠BAC＝30°，∠B＝45°，在△ABC中，＝，∴BC＝30. 答案：30 学科网（北京）股份有限公司 $$