6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．4　平面向量的应用 6．4．1　平面几何中的向量方法 6．4．2　向量在物理中的应用举例 学习目标　1.能用向量方法解决简单的平面几何问题．　2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 一、平面几何中的向量方法 【知识提炼】　 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． (3)求夹角问题，用夹角公式： cosθ＝＝(θ为a与b的夹角). (4)计算线段长度，常用模长公式： ||＝. 例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE. 感悟升华　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明． 【即学即用】　1.(1)求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 解：如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴，y轴建立直角坐标系． 设A(2a，0)，B(0，2a)，则D(a，0)，C(0，a)，从而可求得＝(－2a，a)，＝(a，－2a).不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.故所求钝角的余弦值为－. (2)已知正方形ABCD，E、F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，连接AP.用向量法证明： ①BE⊥CF； ②AP＝AB. 证明：如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). ①∵＝－＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)， ＝－＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)， ∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴⊥，即BE⊥CF. ②设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x－2，y)， 由(1)知＝(－2，－1)，＝(－1，2)， ∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2. 同理，由∥，得y＝－2x＋4. ∴解得即P(，)， ∴2＝()2＋()2＝4＝2，∴||＝||，即AP＝AB. 例2　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：法一：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. ∵||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝. 法二：由平行四边形对角线长与边长之间的关系得AC2＋BD2＝2(AD2＋AB2)， ∴AC2＝2(12＋22)－4＝6，∴AC＝. 感悟升华　利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝. 【即学即用】　2.如图，在△ABC中，点E为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且＝，连接EF交BC于点D，求证：ED＝DF. 证明：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系， 不妨设BC＝1，设＝＝λ，C(1，0)，A(a，b)，D(d，0)， 则E(λa，λb)，＝(1－a，－b)， 所以＝λ＝(λ(1－a)，－λb)，所以F(λ(1－a)＋1，－λb). 所以＝(d－λa，－λb)，＝(λ(1－a)＋1－d，－λb). 因为E，D，F共线，所以∥， 所以－λb(d－λa)＝－λb[λ(1－a)＋1－d]，化简得2d＝λ＋1. 因为－＝(d－λa，－λb)－(λ－λa＋1－d，－λb)＝(2d－λ－1，0)＝(0，0)＝0， 所以＝，所以ED＝DF. 二、平面向量在物理中的应用 【知识提炼】　 1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． 2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． 3．动量mv是向量的数乘运算． 4．功是力F与所产生的位移s的数量积． 例3　在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解：设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－). ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°. ∴|vb|＝150，即没有风时飞机的航速为150 km/h，方向为北偏西60°. 感悟升华　利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型； (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题． 【即学即用】　3.(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解：如图， 设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． ∵＋＝，∴四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. (2)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：N，位移单位：m) 解：设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s. ∵＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15). ∴W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J). 1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　 ) A. 2 B． C. 3 D． 解析：选B. BC中点为D，＝，所以＝. 2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　 ) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：选D. 作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°. 3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　 ) A．7 B．10 C．14 D．70 解析：选D.F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70. 4．飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________km/h. 解析：如图所示，|v1|＝|v|cos 30°＝300×＝150(km/h). 答案：150 学科网（北京）股份有限公司 $$