6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3．4　平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示．　2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．　3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 一、平面向量数乘运算的坐标表示 问题1　 已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：∵a＝(x，y)＝xi＋yj，∴λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy). 【知识提炼】　 已知a＝(x，y)，那么λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 例1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. 感悟升华　向量的坐标运算主要是利用加、减运算及数乘运算法则进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 【即学即用】　1.(1)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则等于(　　 ) A．(－2，－2) B．(2，2) C．(1，1) D．(－1，－1) 解析：选D.＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1). (2)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　　 ) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析：选A. 由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12). 二、平面向量共线的坐标表示 问题2　如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1) ＝λ(x2，y2)，即消去λ，得x1y2 －x2y1＝0. 【知识提炼】　 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 拓展深化　要正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算． (3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 例2　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，＝，＝，求证：∥. 证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)， ∴＝＝，＝＝， ∴(x1，y1)－(－1，0)＝， (x2，y2)－(3，－1)＝. ∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝， ∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝. ∵4×－(－1)×＝0，∴∥. 感悟升华　向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行． 【即学即用】　2.(1)(多选)下列各组向量中不平行的是(　　 ) A．a＝(－1，2)，b＝(3，5) B．a＝(1，2)，b＝(2，1) C．a＝(2，－1)，b＝(3，4) D．a＝(－2，1)，b＝(4，－2) 解析：选ABC. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.对于A，2×3＋1×5≠0，A不平行；对于B，2×2－1×1≠0，所以B不平行；对于C，－1×3－2×4≠0，所以C不平行；对于D，1×4－(－2)×(－2)＝0，所以D平行． (2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 解： ＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6). 法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反． 法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反． 三、向量共线的应用 例3　若a＝(1，0)，b＝(2，1)，＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值． 解：＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)， ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝. 感悟升华　由向量共线求参数的值的方法 【即学即用】　3.(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝_______. 解析：3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－. 答案：－ (2)已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线． 证明：＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8，4)， ∵7×4－×8＝0，∴∥，且，有公共点A，∴A，B，C三点共线． 四、有向线段的定比分点坐标公式及应用 【知识提炼】　 1．中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 2．定比分点坐标公式 存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比，则点P的坐标公式为(，)(λ≠－1). 例4　已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标． 解：设P点坐标为(x，y)，||＝2||. 当P在线段AB上时，＝2，∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)， ∴解得∴P点坐标为. 当P在线段AB延长线上时，＝－2 ， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)， ∴解得∴P点坐标为(－5，8). 综上所述，点P的坐标为或(－5，8). 变式探究　1.若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标． 解：因为＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)， 所以解得所以点P的坐标为. 2．若将本例条件改为“经过点P(－2，3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且| |＝3||”，求点A，B的坐标． 解：由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，设A(x，0)，B(0，y)， ①点P在A，B之间，则有＝3， ∴(－x，y)＝3(－2－x，3)，解得x＝－3，y＝9， 点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9). ②点P不在A，B之间，则有＝－3，同理，可求得点A，B的坐标分别为(－，0)，(0，－9). 综上，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或，(0，－9). 感悟升华　求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论． 1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是(　　 ) A．(5，3) B．(4，3) C．(8，3) D．(0，－1) 解析：选C.3a＋2b＝(6，3)＋(2，0)＝(8，3). 2．已知＝a，且A，B，若λ＝，则λa等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A. ∵a＝＝－＝，∴λa＝a＝. 3．已知点A(2，3)，B(1，4)，且＝－2，则点P的坐标是(　　 ) A．(0，5) B．(，) C．(3，2) D．(－3，2) 解析：选A. 设O为坐标原点，＝＋＝－2＝－2(－)，整理得＝2－＝(2，8)－(2，3)＝(0，5). 4．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________． 解析：∵a∥b，∴＝，解得y＝－4. 答案：－4 5．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________． 解析：依题意可知2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3. 答案：－3 学科网（北京）股份有限公司 $$