6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3．2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3．3　平面向量加、减运算的坐标表示 学习目标　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示． 一、平面向量的正交分解及坐标表示 问题1　如图所示，物理上是怎样对力进行分解的？ 提示：重力G可分解为两个分力：平行与斜面使木块沿斜面下滑的力F1，垂直于斜面的压力F2. 问题2　在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？ 提示：由平面向量的基本定理知向量对e1，e2的分解是唯一的． 问题3　在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量，根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ 提示：相同． 【知识提炼】　 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． (2)坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． (3)坐标表示：a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)． 拓展深化　点的坐标与向量的坐标的联系和区别 联系 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向．向量的坐标仅仅由向量的大小和方向决定，与向量的位置无关 向量a＝(x，y)中间用“＝”连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号 区别 当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标 两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2 小思考　(1)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标是向量终点的坐标吗？ 提示：是． (2)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不变化． 例1　(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为(　　 ) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) 解析：选A. 由题意，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1，1). (2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号) ①向量a可以表示为a＝mi＋nj； ②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)； ③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标． 解析：由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确． 答案：①③ 感悟升华　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． 【即学即用】　1.如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________． 解析：将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4，0)；b＝0i＋6j，∴b＝(0，6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5). 答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5)　 二、平面向量加、减运算的坐标表示 问题4　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题5　如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 【知识提炼】　 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 例2　已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16). (2)设O为坐标原点， ∵＝－＝c， ∴＝c＋＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)， ∴M(－2，4). 又∵＝－＝b， ∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，∴N(－9，－7)， ∴＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11). 感悟升华　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性运算可完全类比实数的运算进行． 【即学即用】　2.已知＝(1，3)，且点A(－2，5)，则点B的坐标为(　　 ) A．(1，8) B．(－1，8) C．(3，2) D．(－3，2) 解析：选B.设点B的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y－5)＝(1，3)，所以解得 三、平面向量坐标运算的应用 例3　已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ)，若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时， (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内． 解：(1)设点P(x，y)，由已知可得＝(3，1)， 又因为＝(5λ，7λ)， 则＝＋＝(5λ＋3，7λ＋1)＝( x－2，y－3)， 所以可得 若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5λ＋5＝7λ＋4，解得λ＝. (2)因为点P在第三象限内， 则所以λ<－1. 感悟升华　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值． 【即学即用】　3.已知A(7，2)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a的值为(　　 ) A. 2 B. 1 C． D． 解析：选C.设C(m，n)，则＝(m－7，n－2)，＝(1－m，4－n)，又＝，所以解得所以C(4，3)，代入y＝ax得3＝2a，所以a＝. 1．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是(　　 ) A．(2，－1) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(1，－2) 解析：选B.＝(2，3)－(3，1)＝(2－3，3－1)＝(－1，2). 2．已知＝(2，3)，则点N位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 解析：选D. 因为点M的位置不确定，所以点N的位置也不确定． 3．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则a－b＝(　　 ) A．(3，7) B．(3，9) C．(3，3) D．(3，5) 解析：选C.a－b＝(2－(－1)，4－1)＝(3，3). 4．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标． 解：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$