6.2.3 向量的数乘运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2．3　向量的数乘运算 学习目标　1.了解向量数乘的概念．　2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．　3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 一、向量的数乘运算 问题1　实数运算x＋x＋x＝3x，思考a＋a＋a能否写成3a呢？ 提示：可以． 问题2　3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？ 提示：同向，反向． 问题3　按照向量加法的三角形法则，若a为非零向量，那么3a的长度与a的长度有何关系． 提示：|3a|＝3|a|. 【知识提炼】　 1．向量的数乘运算 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方 向 λ＞0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0 λ＜0 λa的方向与a的方向相反 微提醒 (1)向量数乘的结果仍然是向量，这个向量的长度、方向都和λ以及a有关． (2)实数和向量可以相乘，但不能相加减，λ＋a，λ－a无意义． (3)表示和向量a方向相同的单位向量． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律). 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 例1　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2(a＋b)； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 感悟升华　向量线性运算的基本方法 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用． 【即学即用】　1.(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a). 解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j. (2)已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，求x，y. 解：联立方程组解得 二、用已知向量表示其他向量 例2　如图，在△ABC中，AD＝AB，点E是CD的中点，设＝a，＝b，则＝(　　 ) A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．a＋b 解析：选D. 因为AD＝AB，即＝，点E为CD的中点，所以＝3＝3(－)＝3＋3＝6＋3＝6(－)＋3＝6－3，所以＝(＋3)＝a＋b. 感悟升华　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系． 【即学即用】　2.在平行四边形ABCD中，＝，＝，G为EF的中点，则＝(　　 ) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选D.＝＋＝(＋)＋·＝(－＋)＋＝－. 三、向量共线定理 问题4　 如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？ 提示：方向相同或方向相反或其中一个为零向量． 问题5　 根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？ 提示：相同或相反． 问题6　向量a与λa(λ为常数)一定共线吗？ 提示：共线． 【知识提炼】　 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 小思考　定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 例3　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 解：(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1. 变式探究　若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y.求证：x＋y＝1. 证明：∵A，B，C三点共线， ∴∃λ∈R，使得＝λ，即－＝λ(－)， ∴＝(1＋λ) －λ，则x＝1＋λ，y＝－λ， ∴x＋y＝1. 感悟升华　证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 【即学即用】　3.(1)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点．若＝m＋，则实数m的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋. 因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝. (2)已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　 ) A．10 B．－10 C．2 D．－2 解析：选C.∵A，B，D三点共线，∴＝λ＝λ(－)，∴a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，∴(1－λ)a＋(2λ－k)b＝0，∴解得 1．下列各式计算正确的个数是(　　 ) ①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数． 2．a＋b＋a－4b等于(　　 ) A．2a＋3b B．a－3b C．2a－3b D．2a－2b 解析：选C.原式＝a＋(1－4)b＝2a－3b. 3．已知平面内的两个非零向量a，b满足a＝－3b，则a与b(　　 ) A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 解析：选D. 因为两个非零向量a，b满足a＝－3b，所以a，b为共线反向向量，且模不相等，所以ABC错误，D正确． 4．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　 ) A．(a－b) B．－(a－b) C．(a＋b) D．－(a＋b) 答案：C 5．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)，∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8，∴λ＝8. 答案：8 学科网（北京）股份有限公司 $$