6.2.2 向量的减法运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2．2　向量的减法运算 学习目标　1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．　2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．　3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算． 一、相反向量 问题1　类比实数x的相反数是－x，对于向量a，你能定义“相反向量”－a吗？ 提示：－a与向量a长度相等，方向相反． 【知识提炼】　 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝a 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是(　　 ) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 解析：选BCD. 相反向量的大小相等，方向相反，故A错误，其他选项正确． 感悟升华　(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． (2)避免将相反向量等同于方向相反的向量，应是方向相反且模相等的向量． 【即学即用】　1.(多选)下列命题中正确的是(　　 ) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量与是相反向量 C．两个向量的差仍是一个向量 D．相反向量是共线向量 解析：选BCD. 根据相反向量的概念可知，A错误，其他选项均正确． 二、向量的减法运算 问题2　在数的运算中，减法是加法的逆运算．那么在向量运算中，向量的减法能否看作是向量加法的逆运算？ 提示：能． 问题3　类比数的减法法则，你能定义向量的减法法则吗？ 提示：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b). 【知识提炼】　 定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法．向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b) 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝．如图所示 几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 小思考　(1)移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？ 提示：成立，移项法则对向量等式适用． (2)在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|? 提示：当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立． 例2　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：方法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 　 感悟升华　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量． 【即学即用】　2.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a. 解：方法一：如图，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a. 方法二：作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a. 三、向量减法的综合应用 例3　化简(－)－(－). 解：方法一(统一成加法)：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0. 方法二(利用减法)：(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0. 感悟升华　向量减法运算的常用方法 【即学即用】　3.(1)化简： ①－＋－； ②(＋＋)－(－－). 解：①－＋－＝＋－＝－＝. ②(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0. (2)如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量． ①；②；③－；④＋；⑤－. 解：①＝－＝c－a. ②＝＋＝－＝d－a. ③－＝＝－＝d－b. ④＋＝－＋－＝b－a＋f－c. ⑤－＝－－(－)＝－＝f－d. 1．如图，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　 ) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 解析：选A.∵＝＋＝a＋c，∴＝－＝a＋c－b. 2．化简－＋＋等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 3．在△ABC中，O为BC的中点，记＝m，＝n，则＝(　　 ) A．－m－n B．－m＋n C．m－n D．m＋n 解析：选A.由题意作图，结合向量的运算，可得＝＋＝－－＝－m－n. 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为________． 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$