6.1 平面向量的概念-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6．1　平面向量的概念 学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．　2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别．　3.理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 一、向量的概念及几何表示 【情境导思】　如下图所示： 问题1　老鼠为什么认为猫是“傻猫”？ 提示：猫的速度再快也没有用，因为它的方向错了． 问题2　你能列举生活中既有大小又有方向的量吗？ 提示：生活中这样的量很多，如物理中的力，加速度，位移等都是既有大小又有方向的量． 【知识提炼】　 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||． (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||． ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 小思考　两个向量能比较大小吗？ 提示：不能．向量既有大小又有方向，大小可以比较，但方向不能比较大小，故向量不能比较大小． 例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200 km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100 km到达D点．作出向量，，，. 解：记||＝100 km，如图所示． 感悟升华　用有向线段表示向量的步骤 (1)定起点：先确定向量的起点； (2)定方向：再确定向量的方向； (3)定终点：根据向量的长度确定向量的终点． 【即学即用】　1.已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：(1)由题意，作出向量，，，，如图所示． (2)依题意知，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD＝1 000 km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km. 二、零向量和单位向量 【知识提炼】　 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 小思考　(1)零向量的方向固定吗？ 提示：不固定，它的方向是任意的． (2)单位向量唯一吗？ 提示：单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同． 例2　(多选)下列说法中，正确的是(　　 ) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量方向相同 D．单位向量的长度都相等 解析：选BD. 对于A，B，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；对于C，D，单位向量是长度为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确． 感悟升华　解决向量有关的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 【即学即用】　2.(1)下列结论中正确的为(　　 ) A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．向量的大小与方向有关 D．零向量没有方向 解析：选B. 对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；对于B选项，向量与向量的模相等，故B对；对于C选项，向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C错；对于D选项，零向量的方向任意，故D错． (2)在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　 ) A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 解析：选A. 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆． 三、相等向量与共线向量 问题3　如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小相等，方向相同． 问题4　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小不等，方向相同． 【知识提炼】　 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，平行向量也叫共线向量．向量a与b平行，记作a∥b. 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．a与b相等，记作a＝b 例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 解： (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. (2)与a共线的向量有，，，，，，，，. (3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. 变式探究　本例条件不变，试写出与向量相等的向量． 解：，，. 感悟升华　(1)寻找相等向量的方法 先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量． (2)寻找共线向量的方法 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【即学即用】　3.(1)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.由于点E，F分别是AB，CD的中点，所以图中与相等的向量为，，共3个． (2)如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是(　　 ) A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．与共线 解析：选C.因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||＝||，故A正确；因为＝，＝，且与共线，故与共线，所以B正确；直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；因为＝，所以与共线，故D正确． 1．(多选)给出下列物理量，其中是向量的是(　　 ) A．质量 B．速度 C．加速度 D．功 解析：选BC. 速度、加速度既有大小，又有方向，是向量；质量、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量． 2．下列说法错误的是(　　 ) A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量与任一向量平行 C．零向量是没有方向的 D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同 解析：选C.对A，零向量的模长为0，故A正确；对B，零向量与任一向量平行，故B正确；对C，零向量的方向是任意的，故C错误；对D，相等向量若起点相同则终点相同，D正确． 3．如图，在☉O中，向量，，是(　　 ) A. 有相同起点的向量 B. 共线向量 C. 模相等的向量 D. 相等向量 解析：选C.，，的模均为圆的半径长，故相等． 4．回答下列问题： (1)平行向量是否一定方向相同？ (2)不相等的向量是否一定不平行？ (3)与零向量相等的向量必定是什么向量？ (4)与任意向量都平行的向量是什么向量？ (5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ (6)两个非零向量相等时当且仅当什么？ (7)共线向量一定在同一直线上吗？ 解：(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)零向量；(5)平行向量；(6)长度相等且方向相同；(7)不一定． 学科网（北京）股份有限公司 $$