课时达标检测16 离散型随机变量的方差(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

课时达标检测(十六)　离散型随机变量的方差 基础达标 　 一、单项选择题 1.牧场有10头牛因误食含有病毒的饲料而被感染,已知被感染的牛的发病率为0.02,发病的牛的头数为ξ,则D(ξ)等于 (C) A.0.2　　　 B.0.8　　　 C.0.196　　　 D.0.804 解析　因为发病的牛的头数ξ服从二项分布B(10,0.02),所以D(ξ)=np(1-p)=10×0.02×0.98=0.196。 2.已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则E(X)和D(X)分别等于 (D) A.1和0 B.1和1.8 C.2和2 D.2和0.8 解析　E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2,D(X)=(2-1)2×0.4+(2-2)2×0.2+(2-3)2×0.4=0.8。 3.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 (C) A. B. C.3 D. 解析　因为E(X)=x1+x2=,所以x2=4-2x1,D(X)=×+×=。因为x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3。 4.已知随机变量X的方差D(X)=m,设Y=3X+2,则D(Y)= (A) A.9m B.3m C.m D.3m+2 解析　因为D(X)=m,所以D(Y)=D(3X+2)=32D(X)=9D(X)=9m。 5.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X-1)= (B) A. B. C. D. 解析　因为X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,所以1×+a×=,解得a=2,所以D(X)=×+×=,所以D(2X-1)=22D(X)=4×=。 6.有甲、乙两名射手,他们的射击技术用下表表示: 甲击中环数X 8 9 10 概率 0.2 0.6 0.2 乙击中环数Y 8 9 10 概率 0.4 0.2 0.4 试问哪一名射手技术较好? (A) A.甲 B.乙 C.一样好 D.无法比较 解析　由题意经计算可知E(X)=E(Y),而D(X)<D(Y),所以甲的射击技术较好。 二、多项选择题 7.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 则下列式子正确的是 (AC) A.E(X)=- B.D(X)= C.P(X=0)= D.P(X≥0)= 解析　由分布列可知,E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故A正确;D(X)=×+×+×=,故B不正确;C显然正确;P(X≥0)=P(X=0)+P(X=1)=+=,故D不正确。 8.设随机变量X~B(n,p),且X的均值与方差分别是2.4和1.44,则 (BD) A.n=4 B.n=6 C.p=0.3 D.p=0.4 解析　由题意,得np=2.4,np(1-p)=1.44,所以1-p=0.6,所以p=0.4,n=6。 三、填空题 9.已知离散型随机变量X的分布列如下表,若E(X)=0,D(X)=1,则a=  ,b=  。  X -1 0 1 2 P a b c 解析　由题意知解得 10.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)= 1.96 。  解析　依题意知,X~B(100,0.02),所以D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96。 11.某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人,有日生产件数为55的“菜鸟”2人,从这5人中任意抽取2人,则2人的日生产件数之和X的方差为 576 。  解析　由题意,可得X的所有可能取值为190,150,110,且P(X=190)==,P(X=150)==,P(X=110)==,则E(X)=190×+150×+110×=158,所以方差D(X)=322×+(-8)2×+(-48)2×=576。 四、解答题 12.抛掷一枚质地均匀的骰子,用X表示掷出偶数点的次数。 (1)若抛掷一次,求E(X)和D(X)。 (2)若抛掷10次,求E(X)和D(X)。 解　(1)X服从两点分布 X 0 1 P 所以E(X)=p=,D(X)=p(1-p)=×=。 (2)依题意可知,X~B,所以E(X)=np=10×=5,D(X)=np(1-p)=10××=。 13.袋中有20个除标号不同,其他完全相同的小球,其中标记数字0的有10个,标记数字n的有n(n=1,2,3,4)个。现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号。 (1)求ξ的分布列、数学期望和方差; (2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值。 解　(1)ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,D(ξ)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75。 (2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2。又E(η)=aE(ξ)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4。所以或 拓广探索 14.设p为非负实数,随机变量ξ的分布列如下表,则D(ξ)的最大值为 1 。  ξ 0 1 2 P -p p 解析　由随机变量ξ的分布列的性质,得解得0≤p≤。易得E(ξ)=1+p,则D(ξ)=(0-p-1)2×+(1-p-1)2×p+(2-p-1)2×=-p2-p+1=-+,所以当p=0时,D(ξ)取得最大值,D(ξ)max=-+=1。 15.现在人们用QQ建立了很多群,有时候一个人管理多个群很不方便,所以一些人就开发了QQ群机器人来管理群,用来回复群里一些成员的问题,不过这个前提是先设置好问答数据库,某网友设置了三类问答数据库,并规定:每回答1个第一类数据库中的问题(共有a个不同的问题)得1分,每回答1个第二类数据库中的问题(共有b个不同的问题)得2分,每回答1个第三类数据库中的问题(共有c个不同的问题)得3分。 (1)当a=3,b=2,c=1时,QQ群机器人回答2次数据库中的问题(可重复回答同一个问题,且每个问题被提问的机会均等),记随机变量ξ为回答这2次问题所得分数之和,求ξ的方差; (2)QQ群机器人回答1次数据库中的问题(每个问题被提问的机会均等),记随机变量η为回答此次问题所得分数,若E(η)=,D(η)=,求a∶b∶c。 解　(1)由题意,知ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6。P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==,所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P 所以E(ξ)=2×+3×+4×+5×+6×=,D(ξ)=×+×+×+×+×=。 (2)由题意,知η的所有可能取值为1,2,3,η的分布列为 η 1 2 3 P 所以E(η)=++=。化简得2a-b-4c=0　①,D(η)=1-2×+2-2×+3-2×=,化简得a+4b-11c=0　②,由①②解得所以a∶b∶c=3∶2∶1。 学科网（北京）股份有限公司 $$