4.1.2 乘法公式与全概率公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4.1.2　乘法公式与全概率公式 情境导入 课程标准 　　王先生从家到公司有两条路可以选择,其中第一条路拥堵的概率是0.3,第二条路拥堵的概率是0.4,王先生选择第一条路的概率是0.7,选择第二条路的概率是0.3,那么王先生上班迟到的概率是多少?这个概率怎么计算呢? 1.掌握乘法公式并可以解决概率问题。 2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率。 自主预习明新知 　 知识点一、乘法公式 根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率。一般地,这个结论称为乘法公式。即P(BA)=P(A)P(B|A)。 知识点二、全概率公式 1.定义。 一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,我们称P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)为全概率公式。 2.推广。 定理1　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n。 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)= =。上述公式也称为全概率公式。 知识点三、贝叶斯公式 1.定义。 一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(A|B)==。这称为贝叶斯公式。 2.推广。 定理2　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n。 则对Ω中的任意概率非零的事件B,有 P(Aj|B)==。上述公式也称为贝叶斯公式。 微提醒 　　贝叶斯公式实质是条件概率公式与全概率公式的结合:P(Ai|B)==。 微思考 　　设A1∪A2=Ω,B⊆Ω,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)吗? 提示:不一定正确,因为A1,A2不一定互斥。若A1,A2不互斥,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)-P(A1A2)P(B|A1A2)。 合作探究攻重难 　 类型一　乘法公式综合应用 　　【例1】　把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个。其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个。试验按如下两条规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,①若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;②若取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球。如果第二次取出的是红球,则称试验成功。求试验成功的概率。 解　设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},R={第二次取出的球是红球},W={第二次取出的球是白球},P(A)=,P(B)=,P(R|A)=,P(W|A)=,P(R|B)=,P(W|B)=。事件“试验成功”表示为AR∪BR,又事件AR与事件BR互斥,故由概率的加法公式,得P(AR∪BR)=P(AR)+P(BR)=P(R|A)·P(A)+P(R|B)P(B)=×+×=0.59。 　　本题P(AR∪BR)=P(AR)+P(BR)=P(R|A)×P(A)+P(R|B)P(B)是互斥事件的加法公式与条件概率的进一步结合(实际上是下面要讲的全概率公式)。 【变式训练】　已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为 (C) A.75% B.96% C.72% D.79.125% 解析　记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1-P()=1-4%=96%。记“任选一件产品是一级品”为事件B。由于一级品必是合格品,所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B)。由合格品中75%为一级品知P(B|A)=75%,故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=96%×75%=72%。 类型二　全概率公式的应用 　　【例2】　已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率。 (1)随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2)合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。 解　(1)记B={该球是红球},A1={取自甲袋},A2={取自乙袋},由已知得P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=。 (2)P(B)==。 　　应用全概率公式求概率的一般步骤 (1)把样本空间划分为若干个简单的互斥事件A1,A2,…,An。 (2)计算P(Ai)与P(B|Ai)的值。 (3)代入公式P(B)= ,求解。 注意:A1,A2,A3,…,An一定是互斥事件,否则公式不正确。 【变式训练】　从数字1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为Y,则P(Y=2)=。 解析　由离散型随机变量的概率分布得P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=,由题意得P(Y=2|X=1)=0,P(Y=2|X=2)=,P(Y=2|X=3)=,P(Y=2|X=4)=,则根据全概率公式得P(Y=2)=P(X=1)P(Y=2|X=1)+P(X=2)P(Y=2|X=2)+P(X=3)P(Y=2|X=3)+P(X=4)P(Y=2|X=4)=×=。 类型三　全概率公式的实际应用 　　【例3】　(抓阄是否与次序有关?)五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同? 解　设Ai表示第i人抓到“有”字阄的事件,i=1,2,3,4,5。则有P(A1)=,P(A2)=P(A2Ω)=P(A2∩(A1∪))=P(A1A2+A2)=P(A1A2)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=,P(A3)=P(A3Ω)=P(A3∩(A1∪A2∪))=P(A1A3)+P(A2A3)+P(A3)=P(A1)P(|A1)P(A3|A1)+P()×P(A2|)×P(A3|A2)+P()P(|)×P(A3|)=××+××+××=,依此类推P(A4)=P(A5)=。故抓阄与次序无关。 　　本题用全概率公式解决一个现实生活中的问题。注意把复杂的问题分解为几个简单的互斥事件,如本例中A3分解为A1A3,A2A3,A3三个互斥事件。 【变式训练】　从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张,求第二张牌点数大于第一张的概率。 解　用Ai表示第一次抽到的牌的点数为i,i=1,2,…,13。B表示第二张牌的点数大于第一张牌的点数。P(Ai)=,i=1,2,…,13。P(B|Ai)=(13-i)×,P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×=×=。 类型四　贝叶斯公式的应用 　　【例4】　某仓库有同样规格的产品12箱,其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的,且三个厂的次品率分别为,,。现从这12箱中任取一箱,再从取得的一箱中任意取出一个产品。 (1)求取得的一个产品是次品的概率;(精确到0.001) (2)若已知取得一个产品是次品,则这个次品是乙厂生产的概率是多少?(精确到0.001) 解　(1)设A={取得一个产品是次品},B1={取得一箱是甲厂的},B2={取得一箱是乙厂的},B3={取得一箱是丙厂的}。显然B1,B2,B3是导致A发生的一组原因,这组原因是完备事件组(即一个划分),A能且只能与B1,B2,B3之一同时发生。三个厂的次品率分别为,,,所以P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B2)=。12箱产品中,甲占,乙占,丙占,由全概率公式得P(A)=P(A|Bk)P(Bk)=×+×+×≈0.083。 (2)依题意,已知A发生,要求P(B2|A),此时我们用贝叶斯公式:P(B2|A)=≈≈0.287。 　　贝叶斯公式也是一种条件概率,P(Bi|A)是在A发生的前提下,Bi发生的概率,而P(Bi)=P(Bi)P(A|Bi),所以在应用贝叶斯公式时要理解其原理以及知识间的联系。 【变式训练】　一台机床正常时,产品的合格率为90%,非正常时,产品的合格率为30%。每天上班开动机床时,机床正常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常,开动机床生产出了一件产品,经检验,该产品为不合格品,问此时机床处于正常状态的概率是多少? 解　记A={机床处于正常状态},B={生产出的一件产品为不合格品}。 P(A|B)===0.3<P(A)=0.75。此时机床处于正常状态的概率为0.3,应检修。 当堂检测提素养 　 1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于 (C) A. B. C. D. 解析　由条件概率公式变形得到乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A)=×=。 2.设某公路经过的货车与客车的数量之比为1∶2,货车中途停车修车的概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该车是货车的概率是 (A) A. B. C. D. 解析　设A1表示货车,A2表示客车,B表示事件“中途停车修理”,则P(A1|B)====。 3.某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个字母脱落,有人捡起随意放回,求放回仍为“MAXAM”的概率。 解　试验分两阶段:第1阶段是字母脱落,第2阶段是检起放回。放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与第1阶段脱落的情况有关。用B表示脱落的两个字母相同。则P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|),P(A|B)=1,P(A|)=,P(B)==,P()=,代入即得P(A)=。 4.已知两个彩票箱中一号箱中奖的概率为10%,二号箱中奖的概率为5%。现有一张中奖彩票,求为一号箱中的概率是多少? 解　设A表示抽到的为一号箱,B表示抽到的是二号箱。C表示抽到的中奖。则P(A)=P(B)=,P(C|A)=0.1,P(C|B)=0.05。由贝叶斯公式得P(A|C)==。 学科网（北京）股份有限公司 $$