第3章测评卷(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第三章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知(ax+1)n的展开式中,二项式系数和为32,则n等于(A) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　2n=32,则n=5,故选A。 2.五个同学排成一排照相,其中甲,乙两人不排两端,则不同的排法种数为(B) A.33 B.36 C.40 D.48 解析　从除甲,乙之外的三人中选取两人,排在队伍的两端,再排含有甲,乙的三个人,共有=3×2×6=36种不同的排法,故选B。 3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(C) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 解析　首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数有;然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数有;最后剩下的3名同学去丙场馆。故不同的安排方法共有=6×10=60种。故选C。 4.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,第一、第二象限不同点的个数是(C) A.18 B.16 C.14 D.10 解析　第一象限不同点有N1=2×2+2×2=8(个),第二象限不同点有N2=1×2+2×2=6(个),故N=N1+N2=14(个)。 5.已知(1+ax)6=1+12x+bx2+…+a6x6,则实数b的值为(D) A.15 B.20 C.40 D.60 解析　(1+ax)6的展开式的通项公式为Tr+1=arxr,令r=1,则a=12,解得a=2,则b=22=60,故选D。 6.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为(A) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　令x=-1,即得a0+a1+a2+…+a11=-2。 7.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行, 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数共有(D) A.24种 B.28种 C.36种 D.48种 解析　分类加法计数原理,按红红之间有蓝无蓝两类来分。当红红之间有蓝时,则有=24(种)。当红红之间无蓝时,则有=24(种);因此,这五个人排成一行,穿相同颜色衣服的人不能相邻,则有48种排法。 8.设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(modm)。若a=+×2+×22+…+×220,a≡b(mod10),则b的值可以是(B) A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023 解析　a=+·2+·22+…+·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1,又a≡b(mod10),所以b的值可以是2 021。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知(ax+b)6的展开式中x4的系数与x5的系数分别为135与-18,则a,b的值为(AB) A. B. C. D. 解析　(ax+b)6=(b+ax)6的展开式的通项公式为Tr+1=b6-r(ax)r=b6-r×arxr,所以解得或故选AB。 10.有4名男生,5名女生,全体排一行,若甲不在中间也不在两端,则排法有(ABC) A.6 B. C.-3 D.6 解析　先排甲有6种排法,其余有种排法,共有6种排法,故D错误,A正确;中间和两端的三个位置有种排法,其余6个位置有种排法,共有×种排法,故B正确;全体全排列有种方法,除去中间和两端的三个位置的3种排法,共有-3种排法,故C正确。故选ABC。 11.在二项式的展开式中,第1、2、3项的系数成等差数列,则展开式中系数最大的项为(BC) A.第5项 B.第4项 C.第3项 D.第6项 解析　二项式的展开式中,前三项的系数分别为1,,。由已知得,2×=1+,解得n=8或n=1(舍去),所以通项公式为Tk+1=2-k×x4-k。设第k+1项的系数最大,则有得2≤k≤3,因为k∈Z,所以k=2或k=3。故系数最大的项为T3=7x2或T4=7x,故选BC。 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.(x2+2)的展开式的常数项是 3 。  解析　第一个因式取x2,第二个因式取含的项得,1×(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取常数项得,2×(-1)5=-2,故展开式的常数项是5+(-2)=3。 13.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位。该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 42 种。  解析　分两类讨论:第一类,甲排在第一位,有=24(种);第二类,甲排在第二位,有=18(种)。由分类加法计数原理得,节目演出顺序的编排方案共有24+18=42(种)。 14.已知多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a0+a1+a2+…+a10= 0 ;a9= -10 。  解析　令x=0,则a0+a1+a2+…+a10=0;又因为x2+x10=x2+[(x+1)-1]10,a9是(x+1)9的系数。[(x+1)-1]10的通项公式为Tk+1=(x+1)10-k×(-1)k,令k=1,得T2=-(x+1)9=-10(x+1)9,故a9=-10。 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知展开式中的倒数第3项的系数为45,求: (1)含x3的项; (2)系数最大的项。 解　(1)由题意可知=45,即=45,所以n=10,Tr+1=()10-r()r=,令=3,得r=6,所以含x3的项为T7=x3=x3=210x3。 (2)系数最大的项为中间项即T6=×=252。 16.(本小题满分15分)7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,求在下列情况下,各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站; (2)4名男生互不相邻; (3)老师不站中间,女生甲不站左端。 解　(1)因为两个女生必须相邻而站,所以把两个女生看作一个元素,则共有6个元素进行全排列,还有女生内部的一个排列共有=1 440(种)站法。 (2)因为4名男生互不相邻,所以应用插空法,对老师和女生先排列,形成四个空再排男生共有=144(种)站法。 (3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有=720(种)站法,当老师不站左端时,老师有5种站法,女生甲有5种站法,余下的5个人在五个位置进行排列共有×5×5=3 000(种)站法。根据分类加法计数原理知共有720+3 000=3 720(种)站法。 17.(本小题满分15分)用0,1,2,3,4,5这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数? (3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数? 解　(1)符合条件的四位偶数可以分为三类。第一类:0在个位时有个。第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个,有种。十位和百位从余下的数字中选,有种,于是共有×个。第三类:4在个位时,与第二类同理,也有×个。由分类加法计数原理知,共有无重复数字的四位偶数+×+×=156个。 (2)五位数中5的倍数可分为两类:个位上的数字是0的五位数有个;个位上的数字是5的五位数有×个。故满足条件的无重复数字的五位数共有+×=216个。 (3)比1325大的四位数可分为三类。第一类:如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有×个;第二类:如14□□,15□□,共有×个;第三类:如134□,135□,共有×个。由分类加法计数原理知,比1 325大的无重复数字的四位数共有×+×+×=270(个)。 18.(本小题满分17分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球。 (1)从中任取4个,其中红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)如取1个红球记2分,1个白球记1分,从口袋中取5个球,总分不小于7的取法有多少种? 解　(1)满足条件的取法情况分为以下三类:第一类,红球取4个,白球不取,取法有种;第二类,红球取3个,白球取1个,取法有种;第三类,红球取2个,白球取2个,取法有种。所以共有取法++=115(种)。 (2)设取红球x个,白球y个,则有解得或或因此总分不少于7的取法可分为三类,取法共有++=186(种)。 19.(本小题满分17分)已知(a∈R,n∈N*)展开式的前三项的二项式系数之和为16,所有项的系数之和为1。 (1)求n和a的值; (2)展开式中是否存在常数项?若有,求出常数项;若没有,请说明理由; (3)求展开式中二项式系数最大的项。 解　(1)由题意可知++=16,即1+n+=16,解得n=5或n=-6(舍去),所以n=5。因为所有项的系数之和为1,所以(a-1)5=1,解得a=2。 (2)因为=,所以通项公式为Tk+1=(2x)5-k=(-1)k25-k。令5-=0,解得k=∉N*,所以展开式中不存在常数项。 (3)由展开式中二项式系数的性质知展开式中间两项的二项式系数最大,所以二项式系数最大的两项为T3=(-1)225-2x5-3=80x2,T4=(-1)325-3=-40。 学科网（北京）股份有限公司 $$