课时达标检测8 杨辉三角、二项式定理的应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

课时达标检测(八)　杨辉三角、二项式定理的应用 基础达标 一、单项选择题 1.在(x-y)10的展开式中,系数最小的项是 (C) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 解析　展开式共有11项,奇数项为正,偶数项为负,且第6项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项为第6项。 2.设a∈Z,且0≤a<13,若512 024+a能被13整除,则a= (D) A.0 B.1 C.11 D.12 解析　512 024+a=(52-1)2 024+a=522 024-522 023+…-521++a,由于522 024-522 023+…-521含有公因数52,故能被52整除,即能被13整除,要使512 024+a能被13整除,则1+a能被13整除,又a∈Z,0≤a<13,所以1+a=13,故a=12。 3.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为 (A) A.135 B.405 C.15 D.45 解析　由题意可得=2n=64,则n=6,则的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r3r=3r。令6-r=3,则r=2,则x3的系数为32=135,故选A。 4.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年。“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望。如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为 (A) A. B. C. D. 解析　由题意得第10行的数就是二项式(a+b)10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为=。故选A。 5.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5= (B) A.32 B.1 C.-243 D.1或-243 解析　(a-x)5的展开式的通项公式为Tr+1=(-1)r×a5-r×xr,令r=2,得a2=(-1)2×a3=80,解得a=2。所以a0+a1+…+a5=(a-1)5=1。 6.的展开式中各项系数之和为2,则该展开式中常数项为 (D) A.-40 B.-20 C.20 D.40 解析　令x=1可得x+2x-5各项系数和为2(2-a)5,则(2-a)5=1,所以a=1,则该展开式中常数项为x×(2x)2+(2x)3=40,故选D。 二、多项选择题 7.(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在项数是 (BC) A.n B.n+1 C.n+2 D.n+3 解析　该展开式共2n+2项,中间两项为第n+1项与第n+2项,所以第n+1项与第n+2项为二项式系数最大的项。 8.若展开式的各项系数和为729,二项式系数和为64,那么a的值是 (AC) A. B.2 C.- D.-2 解析　的展开式的二项式系数和为2n,所以2n=64,n=6,令x=1,则(1+a2)6=729,所以a2=2,即a=±,故选AC。 三、填空题 9.9192除以100的余数是 81 。  解析　9192=(90+1)92=9092+×9091+…+902+90+=k×100+92×90+1=k×100+82×100+81(k为正整数),所以9192除以100的余数是81。 10.在杨辉三角中,每一个数值(除1外)是它上面两个数值之和,这三角形开头几行如下: 那么,在杨辉三角的第 62 行会出现三个相邻的数,它们的比是3∶4∶5。  解析　在杨辉三角形中,它的第n行由二项式系数组成(k=0,1,…,n)。若杨辉三角第n行3个连续项的比为3∶4∶5,那么,有正整数k,使得===,===。由此得解方程组得 11.已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,a∈R,若a0+a1+a2+…+a6+a7=0,则a= 1 ,a3= -5 。  解析　令x=1,则2(a-1)6=a0+a1+a2+…+a7=0,所以a=1。在(1+x)(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,a3=(-1)3+(-1)2=-20+15=-5。 四、解答题 12.已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中,含x4的项的系数是-35。 (1)求a1+a2+…+a7的值; (2)求a1+a3+a5+a7的值。 解　因为Tr+1=x7-r(-m)r,0≤r≤7,r∈N,所以(-m)3=-35,解得m=1。 (1)当x=1时,a0+a1+a2+…+a7=(1-1)7=0　①,当x=0时,a0=(-1)7=-1。所以a1+a2+…+a7=1。 (2)当x=-1时,a0-a1+…-a7=(-1-1)7=-27　②。①-②,得a1+a3+a5+a7=26。 13.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中二项式系数最大的项。 解　由题意知,++=121,即++=121,所以1+n+=121,即n2+n-240=0,解得n=15或-16(舍去)。所以在(1+3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第8,9两项,且T8=(3x)7=37x7,T9=(3x)8=38x8。 拓广探索 14.设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn。若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= 3 。  解析　由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4)。故a0=1,a1=3,a2=4。又1+n的展开式的通项公式为Tr+1=×(r=0,1,2,…,n),故=3,=4,解得a=3。 15.已知。 (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数; (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项。 解　(1)由已知得2=+,即n2-21n+98=0,得n=7或n=14。当n=7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项,因为T4=(2x)3=x3,T5=(2x)4=70x4,所以第4项的系数是,第5项的系数是70。当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是第8项,它的系数为×27=3 432。 (2)由++=79,即n2+n-156=0。得n=-13(舍去)或n=12。设Tk+1项的系数最大,因为=(1+4x)12,由解得9.4≤k≤10.4。因为0≤k≤n,k∈N,所以k=10。所以展开式中系数最大的项是第11项,即T11=×·410×x10=16 896x10。 学科网（北京）股份有限公司 $$