课时达标检测7 二项式定理、二项式系数的性质((教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

课时达标检测(七)　二项式定理、二项式系数的性质 基础达标 　 一、单项选择题 1.若的展开式有16项,则自然数n的值为 (B) A.9 B.10 C.11 D.16 解析　因为展开式共有n+6项,所以n+6=16,所以n=10,故选B。 2.的展开式中的常数项为 (B) A.80 B.-80 C.40 D.-40 解析　的展开式的通项公式为Tr+1=(x3)5-r=(-1)r×2rx15-5r,令15-5r=0,得r=3,所以常数项为T4=(-1)3×23×=-80,故选B。 3.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有 (C) A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 解析　Tr+1=×=×,则当r分别取0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,所以x的幂指数是整数的项共有5项。 4.在(x-y)n的展开式中,第r项的二项式系数为 (C) A. B. C. D.(-1)r-1 解析　第r项的二项式系数为。 5.已知(x∈R)的展开式中含x3的项的系数为10,则实数a= (D) A.-1 B. C.1 D.2 解析　Tr+1=x5-r=arx5-2r,x3的系数为10,所以r=1时,有a=5a=10,得a=2。 6.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中,含x2的项的系数为5,则a等于 (D) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析　由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tk+1=·xk,所以(1+ax)(1+x)5的展开式中含x2的项的系数为+·a=5,所以a=-1,故选D。 二、多项选择题 7.对于二项式(n∈N*),以下四种判断正确的是 (AD) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 解析　+x3n展开式的通项公式为Tr+1=xr-n×x3r=x4r-n。当4r-n=0,即n是4的倍数时,展开式中就有常数项。当4r-n=1,即n除以4余3时,展开式中就有x的一次项。 8.已知(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32,含x2的项的系数为40,则a的值为 (AB) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析　因为二项式系数和为32,所以2n=32,n=5,则二项展开式的通项公式为Tr+1=ar××,当5-r=2,r=2,T3=a2××x2,即a2=40,解得a2=4,a=±2,故选AB。 三、填空题 9.计算:1-3+9-27+…-39+310= 1 024(或210) 。  解析　1-3+9-27+…-39+310=(-1)10×30+(-1)9×31+(-1)8×32+…+(-1)0×310=(-1+3)10=210,即1 024。 10.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 -20 。  解析　x2y7=x(xy7),其系数为,x2y7=y(x2y6),其系数为-,所以x2y7的系数为-=8-28=-20。 11.(x2-x-2)4的展开式中,x3的系数为 -40 。  解析　(x2-x-2)4=[x2-(x+2)]4,展开后只有(x+2)4与-x2(x+2)3中含x3项,其系数和为×2-××22=-40。 四、解答题 12.求1+(1+x)4的展开式中含x2的项的系数。 解　根据乘法公式,得:①因式1+中的1和(1+x)4的展开式中含x2的项相乘可得含x2的项;②因式1+中的和(1+x)4的展开式中含x3的项相乘可得含x2的项。(1+x)4展开式的通项公式为Tk+1=xk(k=0,1,…,4),故(1+x)4的展开式中含x2的项为1×x2+×x3=10x2,即含x2的项的系数为10。 13.在的展开式中,求: (1)第3项的二项式系数及系数; (2)含x2的项及项数。 解　(1)第3项的二项式系数为=15,又T3=(2)4=24×x,所以第3项的系数为24×=240。 (2)Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k,令3-k=2,得k=1,所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2。 拓广探索 14.在二项式(+x)9的展开式中,常数项是 16 ,系数为有理数的项的个数是 5 。  解析　Tr+1=×()9-r×xr,r∈N,0≤x≤9,当r=0时,得常数项为T1=×()9=()9=16。当项的系数为有理数时,9-r为偶数,结合0≤r≤9,可得r=1,3,5,7,9,即系数为有理数的项的个数是5。 15.已知的展开式中二项式系数之和比(2x+xlg x)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和少112,第二个展开式中第5项的值为1 120,求x。 解　依题意得2n-22n-1=-112, 整理得(2n-16)(2n+14)=0,解得n=4,因为第二个展开式中第5项的值为1 120,即(2x)4(xlg x)4=1 120,化简得x4(1+lg x)=1,所以x=1或4(1+lg x)=0,故所求x的值为1或。 学科网（北京）股份有限公司 $$