课时达标检测1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

课时达标检测(一)　分类加法计数原理、分步乘法计数原理 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有三条路,从C地到D地有两条路,从D地到B地有四条路,则从A地到B地不同的走法种数是 (C) A.9 B.1 C.24 D.3 解析　由分步乘法计数原理,从A地到B地要分三步,即ACDB,所以不同的走法共有3×2×4=24(种)。 2.如果x,y∈N*,且1≤x≤3,x+y<7,那么满足条件的有序数对(x,y)的个数是 (B) A.15 B.12 C.5 D.4 解析　当x=1时,y=1,2,3,4,5,有5个,当x=2时,y=1,2,3,4,有4个;当x=3时,y=1,2,3,有3个。由分类加法计数原理得5+4+3=12(个)。 3.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法有 (A) 3 4 A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 解析　因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填后与之相邻的空格可填6,7,8中任一个,余下两个数字按从小到大只有一种方法,共有2×3=6(种)方法,故选A。 4.从甲地到乙地有2种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则从甲地到丙地的不同走法种数为 (B) A.2+4+3 B.2×4+3 C.2×3+4 D.2×4×3 解析　分两类,一类是从甲地经乙地到丙地,有2×4种走法,二类是直接从甲地到丙地,有3种走法,所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4+3。 5.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 (B) A.14 B.13 C.12 D.10 解析　对a进行讨论,为0与不为0,当a不为0时还需考虑判别式与0的大小。若a=0,则b=-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有4个;若a≠0,则方程ax2+2x+b=0有实根,需Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1,此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),共9个。所以(a,b)的个数为4+9=13。故选B。 6.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有 (C) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 解析　如图所示,从十字路口选一个方向作为入口,有4种选法,从其余方向选1个作为出口,有3种选法,故有4×3=12种不同的行车路线。 二、多项选择题 7.下列说法正确的是 (BCD) A.在1,2,3,4四个不同的数字中,任取2个不同的数字作和,共有8个不同的和 B.在1,2,3,4四个不同的数字中,任取2个不同的数字作积,共有6个不同的积 C.在1,2,3,4四个不同的数字中,任取2个不同的数字作差,共有6个不同的差 D.在1,2,3,4四个不同的数字中,任取2个不同的数字作商,共有10个不同的商 解析　不同的和有3,4,5,6,7,故A错误;不同的积有2,3,4,6,8,12,故B正确;不同的差有1,2,3,-1,-2,-3,故C正确;不同的商有5+5=10个,故D正确。 8.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2,3,3,4条,只从一面上山,而从其他任意一面下山,不同的走法种数可能为 (ABC) A.20 B.27 C.32 D.30 解析　东面上山的种数为2×(3+3+4)=20,西面上山的种数为3×(2+3+4)=27,南面上山的种数为3×(2+3+4)=27,北面上山的种数为4×(2+3+3)=32,故只从一面上山,而从其他任意一面下山的走法种数可能为20,27,32。 三、填空题 9.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数是 24 。  解析　圆的方程由三个量a,b,r确定,a,b,r分别有3种、4种、2种选法,由分步乘法计数原理得,可表示不同的圆的个数为3×4×2=24。 10.4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛,4人都来争夺这三项冠军,则冠军分配的种数有 64 。  解析　本题中要完成的一件事:“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”。因为跳高冠军的分配有4种不同的方法。跳远冠军的分配有4种不同的方法。游泳冠军的分配有4种不同的方法。所以根据分步乘法计数原理,冠军的分配方法有4×4×4=64(种)。 11.若在如图①的电路中,只闭合一只开关以接通电路,有 5 种不同的方法;在如图②的电路中,闭合两只开关以接通电路,有 6 种不同的方法。  　 ① ② 解析　对于图①中,按要求接通电路,只要在A中的两个开关或B中的三个开关中闭合一只即可,故有2+3=5(种)不同的方法。对于图②中,按要求接通电路必须分两步进行:第一步,闭合A中的一只开关;第二步,合上B中的一只开关,故有2×3=6(种)不同的方法。 四、解答题 12.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标。 (1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个? 解　(1)可分为两类:A中元素为x,B中元素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3×4+4×3=24(个)不同的点。 (2)第一象限内的点,即x,y均为正数,所以只能取A,B中的正数,共有2×2+2×2=8(个)不同的点。 13.在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋。现从7人中选出会下象棋和围棋的各1人参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法? 解　第一类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,从另外4名会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×4=12(种)选法。第二类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名学生参加象棋比赛,从只会下围棋的2名学生中选1名参加围棋比赛,有2×2=4(种)选法。第三类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,剩下的一名参加围棋比赛,有2×1=2(种)选法,所以一共有12+4+2=18(种)不同的选法。 拓广探索 14.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,组成数对(m,n)。 (1)不同的数对有 25 个;  (2)其中所取两数m>n的数对有 15 个。  解析　(1)因为集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,组成数对(m,n),先选出m有5种结果,再选出n有5种结果,根据分步乘法计数原理知共有5×5=25个不同的数对。 (2)在(1)中的25个数对中所取两数m>n的数对可以分类来解,当m=2时,n=1,有1个;当m=4时,n=1,3,有2个;当m=6时,n=1,3,5,有3个;当m=8时,n=1,3,5,7,有4个;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5个。综上所述,共有1+2+3+4+5=15个。 15.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?(用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序) 解　完成这件事有三类方法。第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式。由分类加法计数原理知,6个广告不同的播放方式有36+36+36=108(种)。 学科网（北京）股份有限公司 $$