3.3 第2课时杨辉三角、二项式定理的应(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　杨辉三角、二项式定理的应用 情境导入 课程标准 杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡的发现。杨辉三角和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代人民的卓越智慧和才能。 1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数。 2.运用二项式系数的性质解决问题。 自主预习明新知 　 知识点一、杨辉三角的性质 1.每一行都是对称的,且两端的数都是1。 2.从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和,即=+。 知识点二、二项式系数的特点 1.在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即=。 2.如果二项式的幂指数n是偶数,那么展开式中间一项:的二项式系数最大,为。如果n是奇数,那么展开式中间两项与的二项式系数相等且最大,为,。 微思考 　　二项式系数与项的系数、项与项数的区别是什么? 提示:①二项展开式中的二项式系数是指,,…,这些组合数,即二项展开式的通项Tk+1=an-kbk中的,与a,b的取值无关,且是正数。 ②展开式中项的系数则是二项式系数与数字系数的积,项的系数未必是正数。如(2x-1)5的展开式中第2项的二项式系数是,而第2项的系数则是-24。 ③项是指项的系数和含字母的式子的积,项数是指该项在展开式中的位置。 合作探究攻重难 　 类型一　杨辉三角的相关问题 　　【例1】　在杨辉三角中,从第2行开始,除1以外,其他每一个数值是它肩上的两个数之和,这个三角形数阵的开头几行如图所示。 (1)证明:+=; (2)求证:第m斜列中(从右上到左下)的前k个数之和一定等于第m+1斜列中的第k个数,即++++…+=(m≥2,m,k∈N*); (3)在杨辉三角中是否存在某一行,该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14?若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由。 解　(1)证明:+=+=+== =。所以原式成立。 (2)证明:由(1)得+=。左边=++++…+=+++…+=…=+==右边,所以原命题成立。 (3)设在第n行的第r-1,r,r+1个数满足3∶8∶14,即∶∶=3∶8∶14,解得所以三个数依次为45,120,210。 　　解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系。 (2)然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来,使问题得解。 (3)注意观察方向:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察。 【变式训练】　在探究“杨辉三角”中的一些秘密时,小明同学发现了一组有趣的数:+=3;++=8;+++=21;++++=55…,请根据上面数字的排列规律,写出下一组的规律并计算其结果: +++++=144 。  解析　观察等式左边表达式可知,下一组有六个式子相加,上标从5逐一递减至0,下标从6逐一递增至11。斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,故等式右边为3,8,21,55,144,由此可知下一组为+++++= 144。 类型二　求展开式中的系数和 　　【例2】　设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2。 解　(1)令x=0,则a0=2100。 (2)令x=1,可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100①,故a1+a2+…+a100=(2-)100-2100。 (3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=②。联立①②可得a1+a3+…+a99=。 (4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)×(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=[(2-)(2+)]100=1100=1。 　　【互动探究】　例2条件不变,求|a0|+|a1|+…+|a100|的值。 解　解法一:(2-x)100展开式的通项为Tr+1=(-1)r2100-r×()rxr,则ar=(-1)r2100-r()r(r=0,1,2,…,100),故a2k-1<0(k∈N*且k≤50),所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|=a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100。 解法二:问题等价于求解(2+x)100展开式中各项系数的和。令x=1,则原式=(2+)100。 　　(1)若f(x)=(x+a)n=a0xn+a1xn-1+…+an,则f(x)展开式中各项系数的和为f(1)。当n为偶数时,奇数项系数的和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…=;当n为奇数时,a0+a2+a4+…=,a1+a3+a5+…=。 (2)求形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的展开式的各项系数之和,只需令x=1即可;求形如(ax+by)n(a,b∈R)的展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可。 【变式训练】　在二项式(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和。 解　设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9。 (1)二项式系数之和为+++…+=29。 (2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1。 (3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=,即所有奇数项系数之和为。 类型三　二项式系数特点的应用 　　【例3】　在的展开式中, (1)系数绝对值最大的项是第几项? (2)求二项式系数最大的项; (3)求系数最大的项; (4)求系数最小的项。 解　展开式的通项公式为Tr+1=×()8-r=(-1)r2r。 (1)设第r+1项系数的绝对值最大, 则所以解得5≤r≤6,即r=5,6。故系数绝对值最大的项是第6项和第7项。 (2)因为n=8,所以二项式系数最大的项为中间项,即第5项,所以T5=×24×=1 120x-6。 (3)解法一:由于展开式中各项的系数正负相间,因此系数最大的项必是奇数项。设展开式中第r+1(r为偶数)项的系数最大,则解得≤r≤,则r=6,故展开式中系数最大的项为T7=×26×x-11=1 792x-11。 解法二:由(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正,故系数最大的项为T7=×26×x-11=1 792x-11。 (4)解法一:由于展开式中各项的系数正负相间,因此系数最小的项必是偶数项。设展开式中第r+1(r为奇数)项的系数最小,则解得≤r≤,则r=5,故展开式中系数最小的项为T6=(-1)5×25×=-1 792。 解法二:由(1)知展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,且第6项的系数为负,第7项的系数为正,故系数最小的项为T6=(-1)5×25×=。 　　求展开式中有关系数最大的问题时,要区分“展开式系数最大”与“二项式系数最大”以及“最大项”等。因此,在系数均为正的前提下,求它们的最大值只需比较相邻两项的大小,根据通项公式正确地列出不等式(组)即可。即设第r+1项的系数最大(或最小),则。 【变式训练】　已知f(x)=(+3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992。 (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项。 解　(1)令x=1,则二项展开式中各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n。由题意知,4n-2n=992,所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍去)或2n=32,所以n=5。由于n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T3=()3(3x2)2=90x6,T4=()2(3x2)3=270。 (2)展开式的通项公式为Tr+1=3r×。假设Tr+1项系数最大,则有所以所以所以≤r≤。因为r∈N,所以r=4。所以展开式中系数最大的项为T5=×34=405。 类型四　整除和余数问题 　　【例4】　(1)试求2 02310除以8的余数; 解　2 02310=(8×252+7)10。因为其展开式中除末项为710外,其余的各项均含有8这个因数,所以2 02310除以8的余数与710除以8的余数相同。又因为710=(49)5=(48+1)5,其展开式中除末项为1外,其余的各项均含有8这个因数,所以710除以8的余数为1,即2 02310除以8的余数也为1。 (2)求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除。 证明　32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+…+-8n-9=8n+1+8n+…+82+(n+1)×8+1-8n-9=8n+1+8n+…+82。上式中的每一项都含有82这个因数,故原式能被64整除。 　　(1)利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系。 (2)把余数及整除问题转化为二项式定理问题,体现了数学建模的核心素养。 【变式训练】　求证:5151-1能被7整除。 证明　因为5151-1=(49+2)51-1=×4951+×4950×2+…+×49×250+×251-1,所以易知除×251-1以外其余各项都能被7整除。又251-1=(23)17-1=(7+1)17-1=×717+×716+…+×7+-1=7(716+715+…+),显然能被7整除,所以5151-1能被7整除。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a1+a2+a3+a4+a5+a6= (B) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　在已知等式中,分别令x=0与x=1,得到a0=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1,因此a1+a2+a3+a4+a5+a6=1-a0=0。 2.在(1-x)n的展开式中,设奇数项系数之和为A,偶数项系数之和为B,则A2-B2等于 (C) A.2n B.22n-1 C.0 D.-1 解析　由题意得A=B=2n-1,故A2-B2=0。 3.(2x-1)10展开式中的奇次幂项的系数之和为 (B) A. B. C. D.- 解析　设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,令x=1,得1=a0+a1+a2+…+a10　①,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10　②,由①-②可得a1+a3+a5+a7+a9=。 4.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是 (C) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　通过图形可以看出,中间的每一个数都等于其肩上的两个数之和,所以a=3+3=6,故选C。 5.用二项式定理证明:1110-1能被100整除。 证明　1110-1=(10+1)10-1=×1010+×109+…+×10+-1=×1010+×109+…+× 102+102=100(108+×107+…++1)。显然上式括号内的数是正整数,所以1110-1能被100整除。 学科网（北京）股份有限公司 $$