3.3 第1课时二项式定理、二项式系数的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理、二项式系数的性质 情境导入 课程标准 　　艾萨克·牛顿(1643—1727),英国科学家。他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家,还是一位伟大的数学家。1664年冬,由于瘟疫流行,牛顿从剑桥回到乡下,研读沃利斯博士的《无穷算术》,开始了对二项式定理的研究,并最终建立了二项式定理。牛顿是如何思考的呢? 1.理解用组合知识推导二项式定理。 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式。 3.灵活运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 自主预习明新知 　 知识点一、二项式定理 1.定义:一般地,当n是正整数时,有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+ bn(n∈N*),这个公式称为二项式定理。 2.二项展开式:an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)称为(a+b)n的展开式。 3.二项式系数:各项系数(k=0,1,2,…,n)称为第k+1项的二项式系数。 知识点二、二项展开式的通项公式 (a+b)n共有n+1项,其中an-kbk是展开式中的第k+1项(通常用Tk+1表示),将Tk+1=an-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)称为二项展开式的通项公式。 知识点三、二项式系数的性质 1.在二项式定理中,如果令a=1,b=1,则得到公式2n=+++…++…+。 2.在二项式定理中,如果令a=1,b=-1,则得到公式0=-+-+-+…,也就是说+++…=+++…=2n-1。 微提醒 　　(1)二项展开式的通项公式表示展开式的第k+1项,该项的二项式系数是,而不是。 (2)字母b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和为n。 微思考 　　二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别? 提示:注意二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念。二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关。 合作探究攻重难 类型一　二项式定理的应用 　　【例1】　(1)+2+22+…+29的值为 (D) A.3×210 B.310 C. D. 解析　因为(1+2)10=+2+22+23+…+210=+2(+2+22+…+29),所以+2+22+…+29=。 (2)求的展开式。 解　=+(-2y)+(-2y)2+(-2y)3+(-2y)4+(-2y)5=-x4y+5x3y2-20x2y3+40xy4-32y5。 　　(1)(a+b)n的展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:①各项的次数和等于n;②字母a按降幂排列,从第1项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第1项起,次数由0逐项加1直到n。 (2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想。注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢。 【变式训练】　(1)若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b= 44 。  解析　因为(1+)4=1+×()1+×()2+×()3+×()4=1+4+18+12+9=28+16,所以a=28,b=16,所以a+b=28+16=44。 (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)。 解　原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1。 类型二　二项展开式通项的应用 　　【例2】　在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列。 (1)求展开式的第4项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中所有的有理项。 解　Tr+1=()n-r=。由前三项系数的绝对值成等差数列,得+=2×,解得n=8或n=1(舍去)。 (1)展开式的第4项为T4==-7。 (2)当-r=0,即r=4时,常数项为=。 (3)令-r∈Z且0≤r≤8,则r=1,4,7,所有的有理项分别为T2=-4x2,T5=,T8=-x-2。 　　求(a+b)n展开式的特定项的常见题型及处理措施 (1)求第k项,Tk=an-k+1bk-1。 (2)求常数项。对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项)。 (3)求有理项。对于有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项。解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解。 (4)求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致。 【变式训练】　(1)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 60 。  解析　二项展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,当r=2时,x2的系数为(-2)2=60。 (2)已知n为等差数列-4,-2,0,…的第6项,则的展开式的常数项是 160 。  解析　由题意得n=6,所以Tk+1=2kx6-2k,令6-2k=0得k=3,所以常数项为23=160。 类型三　二项式系数和的问题 　　【例3】　的展开式一共有13项。 (1)求展开式中二项式系数之和; (2)求展开式中的常数项。 解　由的展开式一共有13项得n=12, (1)由得展开式中二项式系数之和为212。 (2)由得展开式的通项为Tr+1==·212-r×x24-3r,令24-3r=0,得r=8,所以展开式中的常数项为×212-8=7 920。 　　(a+b)n的展开式的二项式系数都是组合数(k=0,1,2,…n)。二项式系数的和即++…+可以通过对a,b赋值而得到。 【变式训练】　(1)已知展开式的二项式系数之和为256,则n= 8 ;  解析　由题意可得2n=256,解得n=8。 (2)在(2x-3y)10的展开式中, 奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和之比为 1 。  解析　奇数项的二项式系数的和为++…+=29=512。偶数项的二项式系数的和为++…+=29=512,所以奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和之比为1。 类型四　三项展开式问题 　　【例4】　的展开式中的常数项是  。  解析　解法一:原式=++5,所以展开式的通项为=+((k1=0,1,2,…,5)。当k1=5时,T6=()5=4,当0≤k1<5时,的展开式的通项为T=×=×(k2=0,1,2,…,5-k1)。令5-k1-2k2=0,即k1+2k2=5。因为0≤k1<5且k1∈Z,所以或所以常数项为4++×=4++20=。 解法二:原式==[(x+)2]5=(x+)10。求原式的展开式中的常数项,转化为求(x+)10的展开式中含x5项的系数,即()5。所以所求的常数项为=。 　　三项式求特定项的方法 (1)因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开。 　　(2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开。 (3)利用组合知识:把三项式转化成二项式,利用组合知识分析项的构成,注意最后把各个同类项合并。 【变式训练】　(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是 120 。  解析　易知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展开式的第r+1项为(x+y)5-r(-2z)r,令r=2,可得第3项为4(x+y)3z2,(x+y)3的展开式的第m+1项为x3-mym,令m=2,可得第3项为xy2。所以(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是4××=120。 利用二项式定理证明不等式 　　【典例】　利用二项式定理证明:n-1<(n∈N*,且n≥3)。 【思路分析】　欲证n-1<成立,只需证n-1>成立。 【证明】　因为n-1=1+n-1=+·+·2+…+·n-1=1++·2+…+n-1>>0,所以n-1<,即原不等式成立。 　　将原不等式等价转化为n-1>(n∈N*,n≥3)及利用n-1=1+n-1是解题的关键。 当堂检测提素养 　 1.二项式展开式中x-2项的二项式系数为 (A) A.28 B.56 C.280 D.-56 解析　Tk+1=(-1)k5kx-k,当k=2时,T3=(-1)252x-2,所以x-2项的二项式系数为,故选A。 2.二项式(a+b)n+2的展开式的项数是 (C) A.n B.n+2 C.n+3 D.n+1 3.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S= x3 。  4.(x+2)n的展开式共有12项,则n= 11 。  5.2n+2n-1+…+2n-k+…+= 3n 。  解析　原式=(2+1)n=3n。 学科网（北京）股份有限公司 $$