3.1.3 第2课时组合数的应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　组合数的应用 情境导入 课程标准 　　小明五一到某城旅游,要从景点A,B,C,D中选择2处游玩,上午选1处,下午选1处,有多少种不同的旅游方案?如果仅从景点A,B,C,D中选择2处,又有多少种不同的旅游方案呢?这就是今天我们所要学习的组合数问题。 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题。 2.能解决有限制条件的组合问题。 自主预习明新知 　 知识点一、有限制条件的组合问题的常见类型 1.解决所选取的组合中“含”与“不含”某个对象的问题,通常用直接法,合理分类。 2.解决“至多”或“至少”问题,通常用间接法,也可以用直接法,合理分类。 3.解决几何图形中的组合问题,首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题,其次要注意从不同类型的几何问题中抽取组合问题,寻找一个组合的模型加以处理。 知识点二、解答有限制条件的组合应用题时的基本方法 “直接法”和“间接法”(排除法)。 1.用直接法求解时,应坚持“特殊对象优先选取”“特殊位置优先安排”的原则,优先安排特殊对象,再安排其他对象。 2.选择间接法的原则是“正难则反”,也就是当正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时,不妨从反面入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此。此时,正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。 知识点三、排列与组合的综合应用题的一般解法 排列与组合的综合应用题的背景丰富,无特定模式和规律可循,因此,应认真审题,把握其本质特征,将其化归为排列、组合的常规模型来求解,其一般解法是先组合后排列,即先选对象后排列,同时注意按对象的性质分类或按事情的发生过程分步。 合作探究攻重难 　 类型一　有限制条件的组合问题 　　【例1】　高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参加活动。 (1)其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种? (2)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种? (3)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种? (4)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种? (5)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种? 解　(1)从余下的34名学生中选取2名,有=561(种)。所以不同的选法有561种。 (2)从34名可选学生中选取3名,有种。或者-==5 984种。所以不同的选法有5 984种。 (3)从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有=2 100种。所以不同的选法有2 100种。 (4)选取2名女生有种,选取3名女生有种,共有选取方法N=+=2 100+455=2 555种。所以不同的选法有2 555种。 (5)选取3名的总数有,至多有2名女生在内的选取方法共有N=-=6 545-455=6 090种。所以不同的选法有6 090种。 　　有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类 (1)“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指对象去掉再取,分步计数。 (2)“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏。 【变式训练】　从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求小张和小王两人至多有一个人参加,则不同选法的种数为 (A) A.9 B.14 C.12 D.15 解析　解法一(直接法):分两类。第一类:小张、小王两人都不参加,选法有=1(种);第二类:小张、小王两人只有1人参加,选法有=8(种)。故选法共有1+8=9(种)。 解法二(间接法):不同选法共有-=9(种)。 类型二　分组分配问题 　　命题方向1:不同对象分组分配问题 　　【例2】　要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学: (1)如果每个人都得3本,则共有不同的分法多少种? (2)如果要求一人得4本,一人得3本,一人得2本,则共有不同的分法多少种? (3)分成三组每组都是3本,则共有不同的分法多少种? (4)如果要求一人得2本,一人得2本,一人得5本,则共有不同的分法多少种? 解　(1)要完成分配任务,可以分为三步:第一步,分给甲3本书,有种方法;第二步,分给乙3本书,因为只能在剩下的6本书里选,所以有种方法;第三步,分给丙3本书,因为只能在剩下的3本书里选,所以有种方法。因此共有不同的分法种数为=××1=1 680。 (2)要完成分配任务,可以分为两步:第一步,将9本书按照4本、3本、2本分为三组,有种方法;第二步,将分好的3组书分别分给3个人,有种方法。因此共有不同的分法种数为=××1×3×2×1=7 560。 (3)分给甲、乙、丙三人,每人三本有种方法。这个过程中可以分两步完成:第一步,分为三份,每份三本,设有x种方法;第二步,再将这三份分给甲、乙、丙三名同学,有种方法。由分步乘法计数原理可得=x,所以x==280,因此分为三份,每份三本,一共有280种分法。 (4)由(3)知,将9本书分成三份,结构为2,2,5,有,其中有二份中均为2本,出现重复分法,应除以两份的全排列,即种,再将三份分给三人有种分法。所以共有不同的分法种数为×=2 268种。 　　“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: ①完全均匀分组,每组的对象个数均相等; ②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象。 (2)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配。 【变式训练】　将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中。 (1)有多少种放法? (2)每盒至多一球,有多少种放法? (3)恰好有一个空盒,有多少种放法? (4)每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法? (5)把4个不同的小球换成4个相同的小球,恰有一个空盒,有多少种放法? 解　(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法。 (2)这是全排列问题,共有=24(种)放法。 (3)解法一:先将4个小球分为三组,有种方法,再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子,有种投放方法,故共有×=144(种)放法。 解法二:先取4个球中的两个“捆”在一起,有种选法,把它与其他两个球共3组小球分别放入4个盒子中的3个盒子,有种投放方法,所以共有=144(种)放法。 (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有种,当1个球与1个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种,故共有×2=8(种)放法。 (5)先从四个盒子中选出三个盒子,再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球,余下两个盒子各放一个,由于球是相同的即没有顺序,所以属于组合问题,故共有=12(种)放法。 　　命题方向2:相同对象分配问题 　　【例3】　有10个运动员名额,分给班号分别为1,2,3的3个班。 (1)每班至少1个名额,有多少种分配方案? (2)每班至少2个名额,有多少种分配方案? (3)可以允许某些班级没有名额,有多少种分配方案? 解　(1)因为10个名额没有差别,所以可先把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空,在9个空中选2个位置插入“隔板”,就可把名额分成3份,然后对应地分给3个班级,每一种插板方法对应一种分法,分配方案共有=36(种)。 (2)要求每班至少2个名额,可以先从10个名额中拿出3个,分别给各班1个名额,还剩下7个名额,此时题目就可转化为7个名额分给3个班级,每个班级至少1个名额,按照解第(1)小问的方法,可得分配方案共有=15(种)。 (3)增加3个名额,分别分给3个班级,使得每个班级至少有1个名额,此时问题转化为13个名额分给3个班级,每个班级至少1个名额,按照解第(1)小问的方法,可得分配方案共有=66(种)。 　　运用隔板法求解组合问题的解题策略 求解“n个相同对象分成m组(每组的任务不同)”的问题,一般可用隔板法求解。 (1)当每组至少含有一个对象时,其不同的分组方式有种,即在n个对象中间形成的(n-1)个空中插入(m-1)个“隔板”。 (2)任意分组,可出现某些组所含对象个数为0的情况,不符合隔板法的适用条件,但可人为增加m个对象,分别给各组一个对象,从而保证每组至少含有一个对象,此时问题就转化为(n+m)个相同对象分成m组,且每组至少含有一个对象,则不同的分组方式有种。 【变式训练】　体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中,要求每个箱子中放入足球的个数不少于其编号,则不同的放法有 10 种。  解析　先在编号为2,3的箱子中分别放入1个,2个足球,剩下6个足球排成一行,在6个足球形成的5个空中插入两个隔板把它们分成三部分的方法种数为=10,故所求不同的放法有10种。 类型三　排列与组合的综合运用 　　【例4】　有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数。 (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定要担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表; (4)某女生一定担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表。 解　(1)分两步。第一步,选人,共有+种选法;第二步,分配任务,有种。根据分步乘法计数原理,共有(+)=5 400(种)选法。 (2)分两步。第一步,在除去担任语文课代表的1名女生的其他人中任选4人,有种选法;第二步,给选出的4人分配任务,有种。报据分步乘法计数原理得,共有=840(种)选法。 (3)完成某男生必须包括在内,但不担任数学课代表这件事,首先要选出4人,有种选法,然后再安排该男生担任除数学外其他学科的课代表,有种。最后再安排其他的人担任课代表,有种。根据分步乘法计数原理,共有=3 360(种)选法。 (4)先从除去该女生该男生的6人中选取3人,有种选法,再安排该男生担任除数学、语文外其他学科的课代表,有种,最后再安排其他的人担任课代表,有种。因此共有=360(种)选法。 　　在处理排列、组合的综合问题时,首先要弄清问题的情境,切实把握各因素之间的相互关系,不能在分析不透时,就用或乱套一气。具体地说,首先要弄清楚有无“顺序”的要求,如果有“顺序”的要求就用,如果无“顺序”的要求就用,其次要弄清目标的实现,是分步达到的,还是分类完成的,前者用分步乘法计数原理,后者用分类加法计数原理。 【变式训练】　在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖。将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 60 种。  解析　将8张奖券分成4组,再分配给4个人。把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,再分给4人有种分法。所以不同获奖情况种数为+=24+36=60。 当堂检测提素养 　 1.某班有30名男生,20名女生,现要从中选出5人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于2人的选法为 (D) A. B.-- C.-- D.+ 解析　男生2人,女生3人,有种选法;男生3人,女生2人,有种选法,由分类加法计数原理知共有+种选法。 2.把10名登山运动员平均分为两组,其中熟悉道路的4人,每组都需要2人,那么不同的分配方法种数是 (A) A.60 B.120 C.240 D.480 解析　先将4个熟悉道路的人平均分成两组,有种分法,再将余下的6人平均分成两组,有种分法。然后这四个组自由搭配还有种分法,故最终分配方法有=60种。 3.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目,则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是 (C) A.15 B.45 C.60 D.75 解析　从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目共有=90种不同选法,重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有=30种,所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的选法有90-30=60种。 4.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方案有 140 种。  解析　先从7人中选出3人安排在周六,有种方法;再从剩下的4人中选出3人安排在周日,有种方法。所以由分步乘法计数原理知共有=140种安排方案。 5.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法种数为 120 960 。  解析　先排第1号瓶,从甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有种方法;再排其余各瓶,有种方法。故不同的放法共有=120 960(种)。 学科网（北京）股份有限公司 $$