3.1.3 第1课时组合与组合数、组合数的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数、组合数的性质 情境导入 课程标准 　　在某次主题班会上,某班级需要从5名班委中选择3人担任代表上台发言。 (1)若3人发言有顺序,有多少种选择方案? (2)若3人发言无顺序,又有多少种选择方案? 由问题(1)(2),你能发现怎样的关系? 1.理解组合及组合数的概念。 2.能利用计数原理推导组合数公式,并会解决简单的组合问题。 自主预习明新知 　 知识点一、组合的定义 一般地,从n个不同对象中,取出m(m≤n)个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合。 知识点二、组合数与组合数公式 1.组合数的概念。 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号表示 (m≤n)。 2.组合数公式及其性质。 组合数公式 === 性质 (1)=1;=n=n; (2)=; (3)+= 微提醒 　　(1)如果两个组合中的对象完全相同,不管它们的顺序如何,都是相同的组合。 (2)当两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同)时,就是不同的组合。 微思考 　　组合问题与排列问题的区别和联系。 提示:组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同对象中,任取m个对象(n,m∈N*,m≤n)”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照一定顺序排成一列”。 合作探究攻重难 　 类型一　组合概念的理解 　　【例1】　判断下列各事件是排列问题还是组合问题。 (1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)a,b,c,d四支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场? (3)从50名同学中选出3名同学分别担任班长、副班长、学习委员,有多少种选法? (4)从50名同学中选出3名同学去开会有多少种选法? 解　(1)每两人互通电话一次,没有顺序,是组合问题。 (2)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题。 (3)三名学生完成三件不同的工作,有顺序,是排列问题。 (4)三名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题。 　　排列、组合问题的判断方法 (1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序。 (2)区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个对象的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题。 【变式训练】　判断下列问题是排列问题还是组合问题并求出相应的结果。 (1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法? (2)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法? 解　(1)是组合问题。由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关,分配方法的个数是=5。 (2)是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序,不同的选法的个数是=126。 类型二　组合数公式的应用 　　【例2】　(1)计算:-。 解　原式=-=-7×6×5=210-210=0。 (2)证明:m=n。 证明　m=m×==n×=n。 (3)已知-=,求+。 解　因为-=-,=,所以-=,所以1-=,即m2-23m+42=0,解得m=2或m=21。而0≤m≤5,所以m=2。所以+=+==84。 　　(1)涉及具体数字的可以直接用公式==计算。 (2)涉及字母的可以用阶乘式=计算。 (3)计算时应注意利用组合数的两个性质。 ①=;②=+。 【变式训练】　(1)计算+= 5 150 。  解析　+=+=+200=5 150。 (2)解方程3=5。 解　原式可变形为3=5,即=5(x-4)(x-5),且x≥7,所以(x-3)(x-6)=5×4×2=40。所以x=11或x=-2(舍去)。经检验符合题意,所以方程的解为x=11。 类型三　简单的组合问题 　　【例3】　在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训。在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必需参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加。 解　(1)从中任取5人是组合问题,共有=792种不同的选法。 (2)甲、乙、丙三人必需参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有=36种不同的选法。 (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有=126种不同的选法。 (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有=3种选法;再从另外9人中选4人,有种选法,共有=378种不同的选法。 　　解决简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求解。解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,应注意有无重复或遗漏。 【变式训练】　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。 (1)从口袋内取出3个小球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是==56。 (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,取法种数是==21。 (3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是==35。 当堂检测提素养 　 1.下列四个问题属于组合问题的是 (C) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字,组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析　A,B,D均为排列问题,只有C是组合问题。 2.若=21,则的值为 (C) A.6 B.7 C.35 D.70 解析　因为=21,所以=21,解得n=7或n=-6(舍去),所以===35,故选C。 3.若=12,则n等于 (A) A.8 B.5或6 C.3或4 D.4 解析　=n(n-1)(n-2),=n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1)。由n∈N*,且n≥3,解得n=8。 4.7个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手 21 次。  解析　每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手=21次。 5.不等式-n<5的解集为 {2,3,4} 。  解析　由-n<5,得-n<5,即n2-3n-10<0,解得-2<n<5,由题设条件知n≥2,且n∈N*,则n=2,3,4,故原不等式的解集为{2,3,4}。 学科网（北京）股份有限公司 $$