3.1.2 第2课时排列数的应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　排列数的应用 情境导入 课程标准 　　经历了6月高考的洗礼,考生们就可以报考自己理想的大学了。大学录取的依据是考生所填写的高考录取志愿表和考生的考分。 大学录取是按批次进行的,每个批次里考生可以选择若干个学校。 假如你在第一批本科院校中比较满意其中的8所学校,在填写第一批院校时只允许填报其中的5所学校,那么有多少种填报院校的方式?这样的排列问题能否用公式表示呢? 1.加深对排列概念的理解。 2.能够用排列数公式解决简单的实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、排列应用题的解法 1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、对象分析法,在实际进行排列时一般采用特殊对象优先原则,即先安排有限制条件的对象或位置,对于分类过多的问题可以采用间接法。 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法。 知识点二、解决排列问题的基本步骤 合作探究攻重难 　 类型一　无限制条件的排列问题 　　【例1】　(1)有6本不同的书,从中选4本送给4名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有6种不同的书,要买4本送给4名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 解　(1)从6本不同的书中选4本送给4名同学,相当于从6个元素中任取4个元素的一个排列,所以共有=6×5×4×3=360(种)不同的送法。 (2)从6种不同的书中买4本书,这4本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理,共有6×6×6×6=1 296(种)不同的送法。 　　典型的排列问题,用排列数计算其排列方法数;若不是排列问题,需用计数原理求其方法种数。排列的概念很清楚,要从“n个不同的对象中取出m个对象(m≤n)”。即在排列问题中对象不能重复选取,而在用分步乘法计数原理解决的问题中,对象可以重复选取。 【变式训练】　将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上,每辆汽车分别配有一位司机和一位售票员,则不同的分配方案共有 576 种。  解析　解决这个问题可以分为两步:第一步,把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上,有种方法;第二步,把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上,也有种方法。根据分步乘法计数原理,不同的分配方案共有=576(种)。 类型二　数字排列问题 　　【例2】　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字? (1)六位奇数; (2)个位数字不是5的六位数; (3)不大于4 310的四位偶数。 解　(1)第一步,排个位,有种排法;第二步,排十万位,有种排法;第三步,排其他位,有种排法。故共有=288(个)六位奇数。 (2)解法一(直接法):十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类。第一类,当个位排0时,有个;第二类,当个位不排0时,有个。故符合题意的六位数共有+=504(个)。 解法二(排除法):0在十万位或5在个位的排列都是不符合题意的六位数,这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况。故符合题意的六位数共有-2+=504(个)。 (3)分三种情况,具体如下:①当千位上排1,3时,有个。②当千位上排2时,有个。③当千位上排4时,形如4 0××,4 2××的各有个;形如41××的有个;形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数。故共有++2++2=110(个)。 　　数字排列问题是排列问题的重要题型,解题时要着重注意从附加限制条件入手分析,找出解题的思路。常见附加条件有:(1)首位不能为0;(2)有无重复数字;(3)奇偶数;(4)某数的倍数;(5)大于(或小于)某数。 【变式训练】　在由1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 (B) A.36个 B.24个 C.18个 D.6个 解析　数字之和为奇数有两种可能,①“三奇”,可组成数字=6(个);②“两偶一奇”,可组成数字3×=18(个)。由分类加法计数原理得各位数字之和为奇数的共有6+18=24(个)。 类型三　“相邻”“不相邻”问题 　　【例3】　3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的种数。 (1)全体站成一排,男生必须排在一起; (2)全体站成一排,男生不能排在一起; (3)全体站成一排,甲、乙中间必须有两人。 解　(1)(捆绑法)把所有男生视为一个元素,与4名女生共5个元素全排列,故N==720(种)。 (2)(插空法)先排女生有种排法,再将男生插在4个女生隔成的5个空中,有种排法,故N==1 440(种)。 (3)(捆绑法)先从甲、乙两人之外的5人中选两人站在甲、乙两人之间,有种排法;甲、乙两人可交换位置有种排法;将这4人看成一个整体,与余下3人全排列,有种排法。故由分步乘法计数原理,有=960(种)。 　　【互动探究】若要求男生互不相邻,且女生也互不相邻,有多少种不同的排法。 解　先排男生有种排法,让女生插空有=144(种)不同的排法。 　　捆绑法、插空法是解决排列问题的常用方法,要根据题目的不同要求选取不同的方法。有时一个题目的解决方法不是唯一的,可能有多个解决方法,也可能用多个方法一起解决。 【变式训练】　6本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有 (A) A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 解析　根据题意,分3步进行分析:①将甲、乙两本书放在两端,有种情况;②将丙、丁两本书看成一个整体,考虑2本书的顺序,有种情况;③将丙、丁这个整体与另外2本书全排列,安排在中间的3个位置,有种情况。则不同的摆放方法共有=24(种)。故选A。 类型四　定序问题 　　【例4】　有3位男生和2位女生,在某风景点前站成一排照合影。按下列条件求排列方案的种数。 (1)甲必须在乙的右边(甲、乙不一定相邻); (2)甲、乙、丙三人自左向右顺序不变(甲、乙、丙不一定相邻)。 解　(1)甲在乙左边与甲在乙右边的排列方案的种数相等,故N==60(种)。 (2)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变,这种排列方案的种数为所有排列数的,故N==20(种)。 　　一般地,若n个对象的全排列中有m(m<n)个对象顺序固定(但不一定相邻),则有种排法。类似地,还可推广到更一般的情形:若有(m+n+k)个对象全排列,其中有m个对象之间的顺序一定,而另外k个对象之间的顺序也一定,则共有种不同的排法。即解决顺序一定问题用“除法”。当然对该类问题还可以用“插空法”。 【变式训练】　(1)用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则符合条件的七位数有 210 个。  解析　1,3,5,7的排列顺序有=24(种),故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的。故符合条件的七位数共有=210(个)。 (2)将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻)。这样的排列有 40 个。  解析　解法一(整体法):5个字母无限制条件的排列有种,由于字母A,B,C的排列顺序有种,因此,满足条件的排列有×2=40(个)。 解法二(插空法):若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,将字母D,E插入这时形成的4个空中,分两类:第一类,若字母D,E相邻,则有种排法;第二类,若字母D,E不相邻,则有种排法。所以不同的排列方法有+=20(种)。同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法。因此,满足条件的排列有20+20=40(个)。 当堂检测提素养 　 1.高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 (B) A.1 800 B.3 600 C.4 320 D.5 040 解析　利用插空法。先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列,有种排法,然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入,有种排法,所以共有=3 600种排法。 2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 (A) A.42 B.30 C.20 D.12 解析　可分两类:第一类,当新增的两个节目不相邻时,有=6×5=30种插法;第二类,当新增的两个节目相邻时,有6=6×2×1=12种插法,所以共有42种不同插法。 3.一个长椅上共有10个座位,现有4人去坐,其中恰有5个连续空位的坐法共有 (D) A.240种 B.600种 C.408种 D.480种 解析　将四人排成一排共有种排法;产生5个空位,将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有种方法。由分步乘法计数原理知,满足条件的坐法共有=480种。 4.某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺,其中A必须在D的前面完成(不一定相邻),其他工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B与C必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 24 种。  解析　将B和C捆绑为一个整体,A和D是“定序”问题,则不同工艺的排列顺序有=24种。 5.有10幅画展出,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画排成一排,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,则不同的陈列方式有 5 760 种。  解析　第一步,水彩画可以放在中间,油画、国画放在两端,有种放法;第二步,油画内部全排列,有种排法;第三步,国画内部全排列,有种排法。由分步乘法计数原理知,不同的陈列方式共有=5 760种。 学科网（北京）股份有限公司 $$