3.1.2 第1课时排列与排列数(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 情境导入 课程标准 　　日常生活中我们会遇到许多排队问题,如等公交车,银行办理业务等。为了维护公共秩序大家都自觉排队,试问: 1.等公交车时人们自觉排成一队,这是有序问题还是无序问题? 2.甲、乙、丙三名同学等公交车去上学,写出他们所有的排队情况。 为了准确回答这些问题,今天我们就要学习排列的有关知识。 1.理解排列的概念。 2.掌握排列数公式。 自主预习明新知 　 知识点一、排列的概念 一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列。 知识点二、排列数的概念 1.从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号表示。 2.公式==n(n-1)…(n-m+1)称为排列数公式。m,n∈N*,m≤n。 3.一般地,在中,当m=n时,排列数公式为=n×(n-1)×…×2×1=n!。 4.=,规定0!=1,=1。 微提醒 　　“排列”和“排列数”是两个不同的概念。一个排列是指“从n个不同的对象中,任取m个对象,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”,它是一个数。 微思考 　　如何判断一个具体问题是否为排列问题。 提示:判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出对象后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换任意两个对象的位置(这里的位置应由具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是有序,无变化就是无序。有序的就是排列问题。 合作探究攻重难 　 类型一　排列的概念 　　【例1】　判断下列问题是不是排列问题: (1)在某足球超级联赛中,采取“主客场制”(即每两支球队在双方的主场各赛一场)。若共有12支球队参赛,则比赛的场数为多少? (2)在某足球赛中,采用“分组循环淘汰制”。若共有32支球队参加,分为8组,每组4支球队进行小组循环,则在小组循环中比赛的场数为多少? (3)会场有50个座位,要求选出3个座位安排3位客人入座,有多少种不同的方法? (4)从集合M={1,2,…,9}中,任取相异的两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1? 解　(1)是,同样是甲、乙两队比赛,甲队作为主队和乙队作为主队是两场不同的比赛,故与顺序有关,是排列问题。 (2)不是,由于是组内循环,故甲、乙两队之间只需进行一场比赛,与顺序无关,不是排列问题。 (3)是,“入座”问题同“排队”问题一样,与顺序有关,故选3个座位安排3位客人入座是排列问题。 (4)不是,焦点在x轴上的椭圆,其标准方程中的a,b必有a>b,a,b的大小一定,故不是排列问题。 　　判断一个具体问题是否为排列问题,首先要保证对象的无重复性,其次要保证对象的有序性,检验它是否有顺序的依据是变换对象的位置,看结果是否发生变化。 【变式训练】　给出下列问题: ①有10个车站,共需要准备多少种车票? ②有10个车站,共有多少种不同的票价? ③平面内有10个点,共可作出多少条不同的有向线段? ④从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛,有多少种选派方法? 以上问题中,属于排列问题的是 ①③④ (填写问题序号)。  解析　①有10个车站,共需要准备多少种车票?相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题。②有10个车站,共有多少种不同的票价?相当于从10个不同元素中任取2个并成一组,无顺序要求,不属于排列问题。③平面内有10个点,共可作出多少条不同的有向线段?相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题。④从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛,有多少种选派方法?相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题。以上问题中,属于排列问题的是①③④。 类型二　排列数公式 　　命题方向1:关于排列数公式的化简 　　【例2】　(1)计算。 解　==。 (2)用排列数表示(40-n)(41-n)…(58-n)(n∈N*且n<40)。 解　因为40-n,41-n,…,58-n中最大数为58-n,且共有(58-n)-(40-n)+1=19个数,所以(40-n)(41-n)…(58-n)=。 (3)化简n(n+1)(n+2)…(n+m)。 解　由排列数公式可知,n(n+1)(n+2)…(n+m)=。 　　连续正整数的乘积可以写成某个排列数,其中最大的数是排列对象的总个数,而正整数的个数是所选取对象的个数,这种题型是排列数公式的逆用。 【变式训练】　(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55)。 解　因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15个元素,所以(55-n)(56-n)…(69-n)=。 (2)计算。 解　===。 　　命题方向2:关于排列数公式的证明与计算 　　【例3】　(1)求证:-=m。 证明　因为-=-=·-1=·=m·=m,所以-=m。 (2)解方程:3=4。 解　由排列数公式,原方程可化为3×=4×,化简得3=,即x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13。因为x≤8,所以原方程的解是x=6。 　　排列数=适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等情况,注意隐含条件“m≤n,且m,n∈N*”的运用。 【变式训练】　(1)求证:=m+。 证明　m+=m+====。 (2)解不等式:<6×。 解　因为x∈N,0≤x≤8,0≤x-2≤8,所以2≤x≤8且x∈N。由排列数公式,得<6×,化简得1<,即x2-19x+84<0,所以7<x<12。所以x=8。 类型三　排列的简单应用 　　【例4】　写出下列问题的所有排列: (1)A,B,C,D四名同学排成一排照相,要求自左向右,A不排第一,B不排第四,共有多少种不同的排法方法? (2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票? 解　(1)因为A不排第一,排第一位的情况有3类(可从B,C,D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,列树形图如图。 所以符合题意的所有排列是:BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种。 (2)列出每一个起点和终点情况,如图所示。 故符合题意的机票种类有:北京广州,北京南京,北京天津,广州南京,广州天津,广州北京,南京天津,南京北京,南京广州,天津北京,天津广州,天津南京,共12种。 　　用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法,它能很好地确定排列中各元素的先后顺序,利用树形图可具体地列出各种情况,避免排列的重复和遗漏。 【变式训练】　A,B,C,D四人参加接力赛跑,其中A不是第一棒,写出所有的站法。 解　作出树形图如下: 故所有的站法:BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA, DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA。 当堂检测提素养 　 1.(多选)下列几个问题中属于排列的有 (AC) A.10本不同的书分给10位同学,每位同学分一本 B.10位同学两两互通一次电话 C.10位同学两两互通一封信 D.10个没有任何三点共线的点构成的线段 解析　由排列与顺序有关,可知A,C是排列,B,D不是排列。故选AC。 2.已知=132,则n等于 (B) A.11　　 B.12 C.13　　 D.14 解析　由已知得n(n-1)=132,即n2-n-132=0,解得n=12或n=-11(不符合题意,舍去)。 3.4×5×6×…×n= (A) A. B.C. D.(n-4)! 解析　由题意知,一共有连续n-3个数相乘,且最大数为n,所以4×5×6×…×n=,故选A。 4.给出下列四个关系式: ①n!=;②=n;③=;④=。 其中,正确的个数为 3 。  解析　由排列数公式易证得①②③正确,④中=,故④错误。 5.在A,B,C,D四位同学中,选出两人担任正、副班长,共有多少选法? 解　解法一:作出表格如下 正班长 A A A B B C 副班长 B C D C D D 共有6种情况,当正、副班长调整位置时,有6种情况,所以满足条件的共有6+6=12种。 解法二:问题可以理解为从四个不同元素中选出两个元素为排列数,由公式知共有=12种。 学科网（北京）股份有限公司 $$