3.1.1 第2课时基本计数原理的应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　基本计数原理的应用 情境导入 课程标准 　　随着人们生活水平的提高,车辆拥有量迅速增长,汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求,再加上许多车主还希望车牌号“个性化”,因此,汽车号码需要进行扩容,这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数,号码的个数是如何进行计算的呢?要解决这个问题,就要综合运用两个计数原理进行运算。 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别。 2.能灵活应用这两个计数原理解决实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 知识点二、两个计数原理的实际应用 在解决实际问题的过程中,并不一定是单一的分类或分步,而是可能同时应用两个计数原理,即分类时,每类的方法数可能要运用分步完成;分步时,每步的方法数可能会采取分类的思想解决。另外,具体问题是先分类后分步,还是先分步后分类,应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉使用,分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步。 微提醒 　　在解决计数问题时,先分析是需要分类还是需要分步,分类应满足:完成一件事的任何一种方法必属于且仅属于其中某一类,即“类”与“类”之间满足确定性与并列性。分步应满足:完成一件事必须且只需连续完成所有步骤,注意“步”与“步”之间的连续性。 合作探究攻重难 　 类型一　数字问题 　　【例1】　用0,1,2,3,4,5六个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解　(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有6种排法,共有6×6×6=63=216(个)。 (2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有5种方法,第二、三位可以排0,因此,共有5×6×6=180(个)。 (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有5×4=20(种)排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有4种排法,十位有4种排法,因此有2×4×4=32(种)排法。因而共有20+32=52(种)排法。即可以排成52个能被2整除的无重复数字的三位数。 　　【互动探究】由本例中的六个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数? 解　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3,5中任取一个,有3种方法;第二步定首位,从1,2,3,4,5中除去用过的一个剩下的4个中任取一个,有4种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的4个数字先排百位有4种方法,再排十位有3种方法。由分步乘法计数原理知共有3×4×4×3=144(个),无重复数字的四位奇数。 　　对于组数问题,应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键。一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊对象)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解。 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位。 【变式训练】　用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 (B) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 解析　①首位为5,末位为0:4×3×2=24(个);②首位为5,末位为2:4×3×2=24(个);③首位为5,末位为4:4×3×2=24(个);④首位为4,末位为0:4×3×2=24(个);⑤首位为4,末位为2:4×3×2=24(个)。共24×5=120(个)。 类型二　涂色及种植问题 　　【例2】　(1)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有 (B) A.24种 B.18种 C.12种 D.6种 解析　由题知,黄瓜必须种植,所以黄瓜可以选择种在不同的3块土地上,所以在白菜、油菜、扁豆中要选择2种进行种植,共有3×2=6(种),所以总共的可能性有6×3=18(种)。 (2)如图所示,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同的颜色给这四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有 260 种不同的涂色方法。  解析　区域A有5种涂色方法,区域B有4种涂色方法,区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法,所以共有5×4×1×4+5×4×3×3=260种涂色方法。 　　涂色问题解答策略 (1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理计算。 (2)以颜色为主分类讨论法,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理计算。 (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题。 (4)对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准。 【变式训练】　(1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,不同的种植方法共有 42 种。  　　解析　分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c。 ①若第三块田放c: a b c 　　第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4(种)方法。 ②若第三块田放a: a b a 　　第四块有b或c两种方法。 ①若第四块放c: a b a c 　　第五块有2种方法; ②若第四块放b: a b a b 　　第五块只能种c作物,共1种方法。综上,共有3×2×(2×2+2+1)=42(种)方法。 (2)用n种不同的颜色为甲、乙两块广告牌着色(如图所示),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边界)的区域不能用同一种颜色。 　 甲 乙 ①若n=6,则为甲着色时共有多少种不同的方法? ②若为乙着色时共有120种不同的方法,求n的值。 解　完成着色这件事共分四个步骤,可依次考虑为A,B,C,D着色时分别有多少种方法,再由分步乘法计数原理确定一共有多少种着色方法。 ①为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,为C着色有4种方法,为D着色也有4种方法。所以共有不同的着色方法6×5×4×4=480(种)。 ②与①的区别在于与D相邻的区域由两个变成了三个,同理,不同的着色方法种数是n(n-1)(n-2)(n-3)。因为n(n-1)(n-2)(n-3)=120,所以(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0,即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0。所以n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(无解,舍去)。所以n=5,n=-2(舍去)。 类型三　抽取分配问题 　　【例3】　现有高一年级的四个班的学生 34 人,其中一、二、三、四班各 7 人、8 人、 9 人、 10 人,他们自愿组成数学课外小组。 (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 解　(1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法。所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种)。 (2)分四步:第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长。所以,共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种)。 (3)分六类,每类又分两步:从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法。所以,共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种)。 　　解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法。 (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理。一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行。②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。 【变式训练】　某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语, 3 人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法? 解　由题意,知有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语。 解法一:分两类。第一类:从只会英语的6人中选1人说英语,有6种选法,则说日语的有2+1=3(种)选法。此时共有6×3=18(种)选法。第二类:既会英语又会日语的1人中选1人说英语,有1种选法,则选会日语的有2种选法,此时有1×2=2(种)选法。所以由分类加法计算原理知,共有18+2=20(种)选法。 解法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选、不入选两类情形,入选后又要分两种:①教英语;②教日语。第一类:甲入选。①甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2(种)选法;②甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6(种)选法。故甲入选的不同选法共有2+6=8(种)。第二类:甲不入选。可分两步。第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2 种选法。由分步乘法计数原理,有6×2=12(种)不同的选法。综上,共有8+12=20(种)不同选法。 正难则反——间接法的应用 【典例1】　有1元、5元、10元、50元、100元人民币各一张,则由这5张人民币可组成　　　　种不同的币值。  【解析】　对于每一张人民币来说,都有两种选择,用或不用,而都不用则形不成币值,由分步乘法计算原理,可得可组成的不同币值有N=2×2×2×2×2-1=25-1=31(种)。 【答案】　31 【典例2】　如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有6个焊接点A,B,C,D,E,F,如果某个焊接点脱落,整个电路就会不通,现在电路不通了,那么焊接点脱落的不同情况共有 (　　) A.6种 B.36种 C.63种 D.64种 【解析】　每个焊接点都有正常与脱落两种情况,共有26种情况,但其中有一种情况是各焊接点都正常的情况,所以共有26-1=63种电路不通的情况。 【答案】　C 　　以上两个例题若采用直接法需要多次讨论,难度较高,采用“正难则反”的原理运用间接法则轻易求解。 当堂检测提素养 　 1.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 (B) A.12 B.18 C.36 D.14 解析　分两类:第一类,十位上的数字为偶数,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共组成奇数3×2×2=12(个);第二类,百位上的数字为偶数,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共组成奇数3×2×1=6(个)。根据分类加法计数原理,奇数共有12+6=18(个)。 2.在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼,小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色,每条鱼只能涂一种颜色,两条相邻的鱼不都涂成红色,涂色后,既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 (D) A.14 B.16 C.18 D.20 解析　根据分类加法计数原理,按涂红色次数分类:红色用1次,有6种方法;红色用2次,有10种方法;红色用3次,有4种方法。所以共有6+10+4=20(种)涂色方法。故选D。 3.甲、乙、丙、丁4名同学去参加3个不同的社团,每名同学只能参加其中一个社团,且甲、乙2名同学不参加同一个社团,则共有 54 种情况。  解析　根据题意,4名同学中每人可以在3个不同的社团中任选1个,即每人有3种不同的选法,则4人的选法有3×3×3×3=81(种),若甲、乙参加同一个社团,甲、乙两人有3种不同的选法,剩下的2人每人有3种不同的选法,则剩下的2人的选法有3×3=9(种),则甲,乙参加同一个社团的情况有3×9=27(种)。则甲、乙2名同学不参加同一个社团的情况有81-27=54(种)。 4.将5种不同的农作物种植在如图所示的5块试验田里(5种农作物必须都种植),每块试验田只能种植1种农作物,则不同的种植方法共有 120 种。  解析　将试验田从左至右依次编号为①②③④⑤,则完成“种植农作物”这件事需分五步:第一步,种①号试验田,有5种不同的种植方法;第二步,种②号试验田,有4种不同的种植方法;第三步,种③号试验田,有3种不同的种植方法;第四步,种④号试验田,有2种不同的种植方法;第五步,种⑤号试验田,只有1种种植方法。根据分步乘法计数原理,不同的种植方法共有5×4×3×2×1=120(种)。 5.A∪B={a1,a2,a3}且A≠B,当A≠B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数有 26 。  解析　由集合A,B都是A∪B的子集,A≠B且A∪B={a1,a2,a3}知可分四类。当A=⌀时,B有1种取法;当A为一元素集时,B有2种取法;当A为二元素集时,B有4种取法;当A为三元素集时,B有7种取法。故不同的(A,B)对有1+3×2+3×4+7=26(个)。 学科网（北京）股份有限公司 $$