3.1.1 第1课时分类加法计数原理、分步乘法计数原理(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

　　▶导语:通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题。能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 要点精准概括 2个基本原理:分类加法计数原理,分步乘法计数原理 2个重要概念:排列,组合 1个重要定理:二项式定理 3个重要公式:排列数公式,组合数公式,二项展开式的通项公式 2个重要性质:组合数的性质,二项式系数的性质 5个重要方法:元素分析法,捆绑法,插空法,隔板法,赋值法 第三章　排列、组合与二项式定理 3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　分类加法计数原理、分步乘法计数原理 情境导入 课程标准 　　 某人要从济南前往北京参加会议,他有两类快捷途径可供选择:一是乘飞机,二是乘高铁。假如当天飞机有3个航班可乘,高铁有4个班次可乘,那么他从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢? 要解决这个问题,就要运用有关排列、组合的知识。在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理。这节课,我们来学习这两个原理。 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理。 2.能利用两个原理解决实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、分类加法计数原理 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 知识点二、分步乘法计数原理 完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。 微提醒 　　(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事。 (2)怎样才算完成这件事。 (3)完成这件事可以有哪些方法。 微思考 　　在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同吗? 提示:在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这一步骤的方法均不相同,若相同,只能算是一种方法。 合作探究攻重难 　 类型一　分类加法计数原理 　　【例1】　某校高三年级共有3个班,各班人数如下表: 男生数 女生数 总数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 　　(1)从3个班的学生中选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 解　(1)从3个班的学生中选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案:第一类,从高三(1)班的学生中选出1名学生,有50种不同的选法;第二类,从高三(2)班的学生中选出1名学生,有60种不同的选法;第三类,从高三(3)班的学生中选出1名学生,有55种不同的选法。根据分类加法计数原理,从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席,不同的选法共有50+60+55=165(种)。 (2)从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案:第一类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第二类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第三类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法。根据分类加法计数原理,从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同的选法共有30+30+20=80(种)。 　　应用分类加法计数原理解题的策略 (1)标准明确:明确分类标准,依次确定完成一件事的各类方法。 (2)不重不漏:弄清完成这件事的所有方法,既不能重复,也不能遗漏。 (3)方法独立:确定的每一种方法必须能独立完成这件事。 【变式训练】　若x,y∈N*且x+y≤6,试求有序实数对(x,y)的个数。 解　按x的取值进行分类:当x=1时,y=1,2,3,4,5,共构成5个有序实数对;当x=2时,y=1,2,3,4,共构成4个有序实数对;当x=3时,y=1,2,3,共构成3个有序实数对;当x=4时,y=1,2,共构成2个有序实数对;当x=5时,y=1,共构成1个有序实数对。根据分类加法计数原理,共有N=5+4+3+2+1=15(个)有序实数对。 类型二　分步乘法计数原理 　　【例2】　在平面直角坐标系内,若点P(x,y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值,则可以组成多少个不同的点P? 解　确定点P的坐标必须分两步,即分步确定点P的横坐标与纵坐标。第一步,确定横坐标,从0,1,2,3四个数字中选一个,有4种方法;第二步,确定纵坐标,从0,1,2,3四个数字中选一个,也有4种方法。根据分步乘法计数原理,所有不同的点P的个数为4×4=16。故可以组成16个不同的点P。 　　(1)应用分步乘法计数原理时,完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可。 (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路。 ①分步:将完成这件事的过程分成若干步。 ②计数:求出每一步中的方法数。 ③结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果。 【变式训练】　从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共 18 个,其中不同的偶函数共 6 个。  解析　一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知,共有不同的二次函数3×3×2=18(个)。若二次函数为偶函数,则b=0,a的取法有3种,c的取法有2种,则由分步乘法计数原理知,共有不同的偶函数3×2=6(个)。 类型三　两个计数原理的综合应用 　　【例3】　已知三个集合A={a,b,c,d},B={m,n,p},C={x,y},在集合A,B,C中任取两个集合,然后从这两个集合中各选一个元素构成含有两个元素的集合,这种二元素的集合有多少个? 解　在集合A,B,C中任取两个集合可分为三类:A,B;B,C;A,C。第一类:当选取的集合是A,B时,构成二元素集合可分两步完成。第一步:从集合A中选取一个元素有4种方法;第二步:从集合B中选取一个元素有3种方法。由分步乘法计数原理知,可构成二元素集合4×3个。第二类:当选取的集合是B,C时,可构成二元素集合3×2个。第三类:当选取的集合是A,C时,可构成二元素集合4×2个。由分类加法计数原理知,构成的二元素集合共有4×3+3×2+4×2=26(个)。 　　在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独立完成这件事,避免计数的重复或遗漏。 【变式训练】　(1)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数。如22,121,3 443,94 249等。显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个101,111,121,…,191,202,…,999。则5位回文数有 900 个。  解析　第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;第三步,选左边第三个数字就是右边第三个数字,有10种选法,故5位回文数有 9×10×10=900个。 (2)如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有 40 个。  解析　满足条件的三角形有两类。第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个),所以满足条件的三角形共有8+32=40(个)。 基本计数原理应用不当致错 　　【典例】　从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c的系数,如果抛物线经过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线的条数是　　　　。  【易错解法】　因为抛物线经过原点,所以c=0,从而c只有1种取值,又抛物线的顶点在第一象限, 所以由c=0知a<0,b>0, 所以a∈{-3,-2,-1},b∈{1,2,3}。 满足条件的抛物线可由a,b,c确定。 a有3种取法,b有3种取法,c只有1种取法。 由分类加法计数原理知,符合题意的抛物线共有N=3+3+1=7条。 【正确解答】　因为抛物线经过原点,所以c=0,从而知c只有1种取值。又抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,所以顶点坐标满足由c=0,解得a<0,b>0,所以a∈{-3,-2,-1},b∈{1,2,3},这样要求的抛物线的条数可由a,b,c的取值来确定。第一步:确定a的值,有3种取法。第二步:确定b的值,有3种取法。第三步:确定c的值,有1种取法。由分步乘法计数原理知,符合题意的抛物线共有N=3×3×1=9条。 【答案】　9 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则不同的选派方法有 (C) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 解析　不同的选派情况可分为3类:若选甲、乙,有2种方法;若选甲、丙,有1种方法;若选乙、丙,有1种方法。根据分类加法计数原理知,不同的选派方法有2+1+1=4(种)。 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为 (B) A.7 B.12 C.64 D.81 解析　要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同的选法。故共有4×3=12(种)不同的配法。 3.某班有男生26人,女生24人,若从中选一名同学任数学课代表,则不同的选法有 (A) A.50种 B.26种 C.24种 D.616种 解析　从男生中选一人,有26种方法;从女生中选一人,有24种方法。由分类加法计数原理,不同的选法有26+24=50(种)。 4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有 36 个。  解析　第一步取b的值,有6种方法,第二步取a的值,也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有虚数6×6=36个。 5.将3封信投入 6 个信箱内,不同的投法有 216 种。  解析　分三步,每一步投一封信。每封信都有6种投法,共有6×6×6=216(种)不同的投法。 学科网（北京）股份有限公司 $$