重点专题3-1 复数的综合运算9大题型- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 1 / 11 专题 3-1 复数的综合运算 模块一 重点题型梳理 【题型 1】复数的分类与辨析 【题型 2】复数的基本运算 【题型 3】复数范围内一元二次方程的根 【题型 4】复数的乘方运算（找规律） 【题型 5】待定系数法 模块二 复数中档题 【题型 6】复数的模与圆 【题型 7】复平面中的向量运算 【题型 8】复数性质的综合辨析 【题型 9】欧拉公式 模块一 重点题型梳理 【题型 1】复数的分类与辨析 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅)，当且仅当 a=0，b≠0 时，z 为纯虚数，其中虚部为 b，而不是 bi 【例题 1】若复数 3i 1 2i a   是纯虚数，则实数a的值是 . 【例题 2】对于复数𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅)，下列结论中正确的是（ ） A．若𝑎 = 0，则𝑎 + 𝑏𝑖为纯虚数 B．若𝑎 − 𝑏𝑖 = 3 + 2𝑖，则𝑎 = 3，𝑏 = 2 C．若𝑏 = 0，则𝑎 + 𝑏𝑖为实数 D．若𝑎 = 𝑏 = 0，则 z不是复数 总览 题型·解读 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 2 / 11 【巩固练习 1】已知复数 2 i 2 i z b    是纯虚数，则实数b  ． 【巩固练习 2】下列关于复数𝑥 + 𝑖的说法一定正确的是（ ） A．是虚数 B．存在 x使得𝑥 + 𝑖是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为 1 【巩固练习 3】如果复数𝑧 = 𝑚 + 3 + (𝑚 − 3)𝑖是纯虚数,则实数𝑚= ( ) A．𝑚 ≠ 3 B．𝑚 = 3 C．𝑚 = −3 D．𝑚 = ±3 【题型 2】复数的基本运算 复数加法与减法的运算法则 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数， 则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． (2)对任意 z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【例题 1】（2024 新高考 I 卷真题）若 1 i 1 z z    ，则 z （ ） A． 1 i  B． 1 i  C．1 i D．1 i 【例题 2】（2025·贵州毕节·二模）已知     i i 2 ,a b a b   R ，则ab （ ） A． 3 B． 1 C．1 D．3 【巩固练习 1】复数 2 1 2i 1 i 1 i z      的实部与虚部之和为（ ） A．0 B．2 C．4 D．8 【巩固练习 2】在复平面内，复数    sin 2sin cos 2cos iz        （i 为虚数单位）与点  3,1Z 对应，则  cos   （ ） A． 1 8  B． 15 4 C． 1 4 D． 7 8  巩固练习 题型 基础知识 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 3 / 11 【巩固练习 3】（2025·云南曲靖·一模）已知复数 1z 和 2z ，满足 1 2 1 2 1z z z z    ，则 1 2z z （ ） A． 3 2 B．3 C． 3 D．1 【题型 3】复数范围内一元二次方程的根 复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程 2 0ax bx c ＋ ＋ (a≠0，且 a，b，c∈R)，则当 0△＞ 时，方程有两个不相等的实根 = 2 4 2 b b ac a    ， ＝ 2 4 2 b b ac a    ； 当 0△= 时，方程有两个相等的实根 ＝ ＝－ ； 当 0△< 时，方程有两个虚根 ＝ 2i 4 2 b ac b a    ， ＝ 2i 4 2 b ac b a    ，且两个虚数根互为共 轭复数． 注：在复数范围内，韦达定理 1 2 b a x x   ， 1 2x x c a  任然适用 【例题 1】（23-24 高一下·广西柳州·月考）已知关于 x 的方程  2 1 2i 3 i 0x x m     有实根，则实 数m  ． 【例题 2】（23-24 高一下·安徽亳州·月考）已知 1x ， 2x 是方程 2 2 0x x   的两根，则 2 2 1 2x x  ， 1 2x x  . 【巩固练习 1】（2025·贵州毕节·一模）已知复数 z满足 i 1 iz   ，且 z是关于 x的方程 2 0x px q   的一个根，则实数 p，q的值为（ ） A． 2p  ， 2q B． 2p   ， 2q C． 2p  ， 2q   D． 2p   ， 2q   【巩固练习 2】（多选）若 1z ， 2z 是方程 2 1 0x ax   的两个虚数根，则（ ） A．a的取值范围为 2 2 , B． 1z 的共轭复数是 2z C． 1 2 1z z  D． 1 2 a z  为纯虚数 基础知识 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 4 / 11 【巩固练习 3】（多选）已知复数 1 2,z z 是关于 x的方程 2 1 0( 2 2, )x bx b b      R 的两根，则下列 说法中正确的是（ ） A． 1 2z z B． 1 2 z z R C． 1 2 1z z  D．若 1b  ，则 3 3 1 2 1z z  【巩固练习 4】（2025·广东湛江·一模）（多选）复数 1z ， 2z 满足 1 2 4z z  ， 1 2 8z z  ，则（ ）． A． 1 2 8z z  B． 1 2 4z z  C． 1 2 4z z  D． 1 2 1 z z  【题型 4】复数的乘方运算（找规律） 一、常用乘方规律 4 1 4 2 4 3 4, 1, 1, 1( )n n n ni i i i i n Z         ． 二、求 4 2 n a a ai       其中 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a i i a ai a      ， 2 2a i a ai         ，故   4 2 1 n n a a ai          【例题 1】（2024·浙江温州·一模）若 2025i 1 iz   ，则复数 z 对应的点位于第（ ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例题 2】（2024·吉林长春·一模）若 99( 3 i) ix y   ，则 2x y  . 【巩固练习 1】（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数 20252025 iz   在复平面内对应的点所在的象 限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习 2】若复数 z 满足   20242 i iz  （ i是虚数单位），则 z  . 【巩固练习 3】已知复数 1 3 ( 2 2 z i i   为虚数单位），则 2 2024z z z   ________ 解题技巧 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 5 / 11 【题型 5】待定系数法 对于复数实部与虚部不确定时，一般通过待定系数法得出二元方程组来确定复数 【例题 1】（2024·四川泸州·一模）（多选）若复数 z 满足 3 4 2iz z   ，则（ ） A． 2z  B． z 的虚部为 1 C． 1 i z  为纯虚数 D． 8 16z  【例题 2】已知复数 z 满足： i 1 3iz z   ，求复数 z 【例题 3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知模长均为 1 的复数 1 2,z z 满足 1 2 1 2 0z z z z   ，则下列 说法正确的是（ ） A． 1 2| | 1z z  B． 1 2 1z z  C． 2 2 1 2 1z z  D． 2 2 1 2 1z z  【巩固练习 1】已知复数 z 的共轭复数是 z ，若 2 2 3iz z    ，则 z （ ） A．2 i B．1 2i C．2 i D．1 2i 【巩固练习 2】（2025·四川德阳·二模）（多选）已知 1 2,z z 是复数，i 为虚数单位，则下列说法正确的 是（ ） A．若 1 1z  ，则 1 iz  B． 1 1 2 1 2, C,zz z z z z z   C． 1 2 0z z  是 1 2z z 的充要条件 D．若 1 2 0z z  ，则 1 2,z z 中至少有一个为 0 【巩固练习 3】（24-25 高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知 1z ， 2z 是复数，则下列命题正确的为（ ） A．若 1 2z z ，则 1 2z z B．若 1 2z z R ，则 1z 是实数 C．若 1 2 0z z  ，则 1 0z  D．若 1 2| || |z z ，则 1 2z z 基础知识 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 6 / 11 【巩固练习 4】（2024·江苏·一模）（多选）已知复数 1 2 3, ,z z z ，下列说法正确的有（ ） A．若 1 1 2 2z z z z ，则 1 2z z B．若 2 2 1 2 0z z  ，则 1 2 0z z  C．若 1 2 1 3z z z z ，则 1 0z  或 2 3z z D．若 1 2 1 2z z z z   ，则 1 2 0z z  模块二 复数中档题 【题型 6】复数的模与圆 |z－z0|表示复数 z 和 z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数 z 对应的点的轨迹是以 z0对应 的点为圆心，半径为 r的圆． 【例题 1】（23-24 高一下·江苏南京·期末）已知 i 为虚数单位，复数 z满足 1z  ，则 iz  的最大值 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题 2】（23-24 高一下·江苏苏州·期中）已知复数 z 满足 1 1z   ，则 2 4iz   （ i是虚数单位） 的最小值为（ ） A． 17 1 B．4 C． 17 1 D．6 【巩固练习 1】（23-24 高一下·福建厦门·月考）已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 4i 2z   ，则 1z  的取值范围是 ． 【巩固练习 2】（23-24 高一下·山西长治·期末）已知复数 z 满足 1z  ，则 2 5iz   的取值范围 是 ． 【巩固练习 3】（23-24 高一下·陕西西安·期中）若复数 z 满足 1 2i 1(iz    为虚数单位 ) ，则 z 的最 大值为 ． 解题技巧 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 7 / 11 【巩固练习 4】（23-24 高一下·福建厦门·期中）（多选）下列命题正确的（ ） A．若复数   1 i 2 iz    ，则 10z  B．若 1 2 iz   ， 2 1 3iz   ，则复数 1 2z z 的虚部是 2i C．若 1 iz   是关于 x的实系数方程 2 0x px q   的根，则 0p q  D．若 1 2z   ，则 1 3iz   的最小值为 1 【题型 7】复平面中的向量运算 【例题 1】（23-24 高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足 5 i 1 1 i z     的复数 z 对应的点为 Z ，复 数 1 i  对应的点为 0Z ，则 0Z Z 的值不可能为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题 2】设非零复数 1z 和 2z 在复平面内对应的向量分别为OP 和OQ ，其中 O为原点，若 1 2 z w z  为 纯虚数，则（ ） A． //OP OQ B． OP OQ C．    OP OQ OP OQ   D． OP OQ OP OQ   【巩固练习 1】（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知复数 1z ， 2z （ 1 2 0z z  ）在复平面内对应的向量 分别为 1OZ ， 2OZ （其中O为原点），则下列命题正确的是（ ） A．若 1 2OZ OZ ，则 1 2 1 2z z z z   B．若 1 5OZ  ，则 1 2z  的最小值为 3 C．若    1 2 1 2OZ OZ OZ OZ   ，则 1 2z z D．若 1 2OZ OZ ，则 1 2z z 【巩固练习 2】已知𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐶，|𝑧1| = |𝑧2| = 1，|𝑧1 + 𝑧2| = √3，则|𝑧1 − 𝑧2| =（ ） A．0 B．1 C．√2 D．√3 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 8 / 11 【巩固练习 3】（多选）设复数  1 2 1 23 i, i , R , ,z z x y x y z z     对应的向量分别为 1 2,OZ OZ （O 为坐标原点），则（ ） A． 1 2z  B．若 1 2/ /OZ OZ ，则 3 0x y  C．若 1 2OZ OZ 且 2 1z  ，则 1 2 x   D．若 1 2 3z z  ，则 2z 的最大值为2 3 . 【题型 8】复数性质的综合辨析 复数和向量都可以用点坐标来表示，二者的加减法定义完全相同，模长公式也相同，但是既然 二者是分立的概念，其中的区别又体现在何处？ 区分：辨析复数的乘法与向量的数量积 复数的乘法： ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac ba bc aa i      向量的数量积的坐标运算： ( , )m a b ， ( , )n c d ，则向量m 与n 的数量积：m n ac bd   辨析两种运算 类似点：都是类似多项式乘法，所以都满足乘法交换律与分配律 区别：化简法则有着本质的不同，复数乘法是利用 2 1i   化简，最后得到的还是复数；而向量数量 积的坐标运算本质上利用向量的正交分解，结合数量积的定义进行运算，最后得到的一定是一个实 数。 模的平方的区别 复数中，一般 2 2| |z z ，且 2 2| |z z z R   向量数量积与模的平方： 2 2| |a a 【例题 1】（2024·吉林·二模）（多选）已知复数 1 iz   ，则（ ） A． 2z  B． 2z z  C．   2024 1 1z    D．若关于 x 的方程  2 2 0 C Rx ax x a    ， 的一个根为 z ，则 2a  解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 9 / 11 【例题 2】（24-25 高三上·江苏·期末）（多选）设 1z ， 2z 为复数，则下列说法中正确的有（ ） A． 1 2 1 2z z z z   B． 1 2 1 2z z z z   C．若 1 2z z ，则 2 2 1 2z z D．若 2 1 0z  ，则 1z 为纯虚数 【例题 3】（24-25 高三下·河北石家庄·开学考试）（多选）已知复数 1 2,z z ，则（ ） A．若 1 2,z z 互为共轭复数，则 1 2z z 为实数 B．若 1 2z z ，则 1 2z z 或 1 2z z  C． 1 2 1 2z z z z   D． 2 2 2 2 1 2 1 2 1 22 2z z z z z z     【巩固练习 1】（23-24 高一下·福建漳州·期末）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ） A．复数 1 2z i  ，则 z 在复平面内对应的点位于第四象限 B． 2 3 2024i i i i 0     C．若复数 1 2,z z 满足 1 2 1 2z z z z   ，则 1 2 0z z  D．若 1z  ，则 1 iz   的最大值为 2 1 【巩固练习 2】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数 1z ， 2z ，则（ ）． A．若 1 2z z ，则 1 2z z B．若 1 1 2 2z z z z   ，则 1 2z z C．若 1 2 0z z  ，则 1 2 1 2z z z z   D．若 1 2z z ，则 1 21 1z z   【巩固练习 3】（23-24 高一下·江苏无锡·月考）（多选）已知 1 2,z z 为复数，则下列说法正确的是（ ） A． 1 2 1 2z z z z   B． 1 2z z ，则 1 2 z z C．若 1 2 0z z  ，则 1 0z  或 2 0z  D．若 1 i 1z   ，则 1 iz  的最大值为 3 【巩固练习 4】（2025·河北石家庄·一模）（多选）已知 i为虚数单位，以下选项正确的是（ ） A．若 ,m nR，则 i 2 im n   的充要条件是 2, 1m n  B．若复数 1 2 3, ,z z z 满足 1 2 2 3z z z z ，则 1 3z z C． 2 3 2025i i i i i     D．若复数 z 满足 1z  ，则 3 4iz   的最大值为 6 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 10 / 11 【巩固练习 5】（23-24 高一下·安徽·期末）（多选）设 1 2,z z 为复数，则下列命题正确的是（ ） A．若 1 2z z ，则 1 2 Rz z  B．若 1 1 3 i 2 2 z    ，则 20241 1 3 i 2 2 z   C．若 1 2z z ，则 2 2 1 2z z D．若 1 2z z z z   ，且 1 2z z ，则 z在复平面对应的点在一条直线上 【巩固练习 6】（23-24 高一下·湖北·期末）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．若 z 1 3i  ，则 | | 4z  B．若 i 1z   ，则 2z z   C．已知m ，nR ， i是关于 x 的方程 2 0x mx n   的一个根，则 1m n  D．若复数 z 满足 | 1 | 2z   ，则 | i |z  的最大值为2 2 【题型 9】欧拉公式 欧拉恒等式是一个著名的数学公式，它将五个重要的数学常数连接在一起，很多人在学校的时候都 没有了解过，但它被认为是能体现数学之美的最经典的例子之一。欧拉公式是数学里最令人着迷的 公式之一，它神奇地将数学里最重要的几个常数联系到了一起：自然对数的底 e，圆周率 π，虚数单 位 i，自然数的单位 1，还有最常见的 0。数学家们评价，它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不 能理解它” ie cos isinx x x  ， ie 1 0x   【例题 1】（24-25 高三下·广东广州·期末）已知公式 ie cos isinx x x  ，其中 i是虚数单位，根据此公 式计算 π i 4i e   的虚部是 . 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 11 / 11 【例题 2】（2024·云南昆明·模拟预测）（多选）欧拉公式 ie cos isinx x x  （e 为自然对数的底数，i 为 虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数 论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于 x的方程 2 0x ax b   （a， Rb ）的两根为 1z ， 2z ，其中 π i 4 1 2ez  ，则下列结论中正确的是（ ） A． 2 1 iz   B． i 2a b  C．复数 ie  对应的点位于第二象限． D．复数 ie  0( [ ]),π  在复平面内对应的点的轨迹是半圆 【巩固练习 1】欧拉公式 ie cos isinx x x  （ i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重 要的地位．特别是当 πx  时， ie 1 0x   被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创 造的公式””．根据欧拉公式可知， 5ie 表示的复数在复平面中位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习 2】（多选）欧拉公式 ie cos isinx x x  （其中 i为虚数单位， xR ）是由瑞士著名数学 家欧拉创立的，它把自然对数的底数 e、虚数单位 i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐 美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（ ） A． 3ie 在复平面内对应的点在第三象限 B． ie 1  C． iπe 的共轭复数为 1 D．复数 iπ 2( e) 的实部为 2 2 【巩固练习 3】（多选）著名的欧拉公式为： 1 0ie    ，其中 2 1i   ，e为自然对数的底数，它使用 了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是 cos sin (0 2 )ie i       ， 该复数在复平面内对应的向量坐标为 (cos ,sin )  ，则下列说法正确的是 ( ) A． 1 3 ( ) 2 2 3 ln i i    B．若复数 z 满足 1 3 2 2 z i  ，则 2021z z C．若复数 ie  与复数 ie  在复平面内表示的向量相互垂直，则 2     D．复数 ie  与复数 iie  在复平面内表示的向量相互垂直 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题3-1 复数的综合运算 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】复数的分类与辨析 【题型2】复数的基本运算 【题型3】复数范围内一元二次方程的根 【题型4】复数的乘方运算（找规律） 【题型5】待定系数法 模块二 复数中档题 【题型6】复数的模与圆 【题型7】复平面中的向量运算 【题型8】复数性质的综合辨析 【题型9】欧拉公式 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】复数的分类与辨析 基础知识 ，当且仅当a=0，b≠0时，z为纯虚数，其中虚部为b，而不是bi 典型例题 【例题1】若复数是纯虚数，则实数的值是 . 【答案】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得 【例题2】对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【解题思路】结合复数概念逐一判断即可. 【详解】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错. 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知复数是纯虚数，则实数 ． 【答案】 【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得. 【详解】， 又为纯虚数，，解得：. 【巩固练习2】下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【解题思路】根据复数的概念、复数的分类判断． 【详解】由复数， 当时，为实数，故A、C不正确； 当时，，故B正确；由于的取值未知，故D错误 【巩固练习3】如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 【解题思路】由纯虚数概念建立关系式求解即可. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得. 【题型2】复数的基本运算 基础知识 复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数， 则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． (2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 典型例题 【例题1】（2024新高考I卷真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 【例题2】（2025·贵州毕节·二模）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】可先将展开并化简，根据复数相等的条件求出、的值，进而求得的值. 【详解】 已知，即. 则可得.由可得，将代入中， 得到，解得或. 当时，，； 当时，，. 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】复数的实部与虚部之和为（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】应用复数的乘除法化简复数，进而求实部与虚部之和. 【详解】，所以实部与虚部之和为. 【巩固练习2】在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，， 【巩固练习3】（2025·云南曲靖·一模）已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的模长平方关系计算求和即可. 【详解】因为复数和，满足， 则，所以，所以. 【题型3】复数范围内一元二次方程的根 基础知识 复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程(a≠0，且a，b，c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根 =，＝； 当时，方程有两个相等的实根＝＝－； 当时，方程有两个虚根＝，＝，且两个虚数根互为共轭复数． 注：在复数范围内，韦达定理，任然适用 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广西柳州·阶段练习）已知关于的方程有实根，则实数 ． 【答案】 【分析】设是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解． 【详解】设为方程有实根， 则，即， 所以，解得，故答案为：. 【例题2】（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）已知，是方程的两根，则 ， . 【答案】 【分析】首先求出方程的两根，，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得. 【详解】因为，是方程的两根，又， 即或，不妨令， 所以； 又，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实系数多项式虚根成对定理，即可求解． 【详解】复数满足，则，是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根，故，解得． 【巩固练习2】（多选）若，是方程的两个虚数根，则（    ） A．的取值范围为 B．的共轭复数是 C． D．为纯虚数 【答案】BCD 【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是， 【详解】由，得，A错误； 因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确； ，C正确； 因为等于或，所以为纯虚数，D正确. 故选：BCD. 【巩固练习3】（多选）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项． 【详解】，∴，不妨设，， ，A正确； ，C正确； ，∴，时，，B错； 时，，，计算得， ，，同理，D正确． 【巩固练习4】（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案. 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 【题型4】复数的乘方运算（找规律） 解题技巧 一、常用乘方规律 ． 二、求 其中，，故 典型例题 【例题1】（2024·浙江温州·一模）若，则复数对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【详解】，化简，即,即. 根据复数几何意义知道，对应的点为，在第四象限. 【例题2】（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【答案】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】由于， 则 所以，，即. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，且，则， 所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限. 【巩固练习2】若复数满足（是虚数单位），则 . 【答案】 【详解】因为，所以.故答案为：. 【巩固练习3】已知复数为虚数单位），则________ 【解答】解：复数，， ， 【题型5】待定系数法 基础知识 对于复数实部与虚部不确定时，一般通过待定系数法得出二元方程组来确定复数 典型例题 【例题1】（2024·四川泸州·一模）（多选）若复数满足，则（   ） A． B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 【答案】BCD 【分析】设，由条件可得.由复数模长公式可得选项A错误；由复数的概念可得选项B正确；通过复数的除法运算可得选项C正确；通过复数乘方运算可得选项D正确. 【详解】设，则，∴， ∴，解得，故. A. ，选项A错误. B. 的虚部为，选项B正确. C. ，为纯虚数，选项C正确. D. 由得，故，选项D正确. 【例题2】已知复数满足：，求复数 【答案】 【分析】设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程组，求出，从而可得出答案； 【详解】解：设复数，根据题意得，，则， 【例题3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知模长均为1的复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，，根据给定条件可得且，计算判断AB；计算判断CD. 【详解】设，，由，得， 则，而，， 则，解得且， 对于AB，，，A正确，B错误； 对于CD，，，，C正确，D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知复数的共轭复数是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，然后代入化简，再结合复数相等的条件可求出，从而可求出复数. 【详解】设，则，所以，即， 所以， 解得，因此 【巩固练习2】（2025·四川德阳·二模）（多选）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0 【答案】BD 【分析】AB选项，根据复数模的计算公式判断；C选项，根据复数定义判断；D选项，根据列方程，解方程即可. 【详解】若，则可以为，故A错； 设，，， 则， ， 所以，，故B正确； 当，时，为虚数，不能比较大小，故C错； ，则，解得或，故D正确. 【巩固练习3】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知，是复数，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】设，，由共轭复数可得A正确；由复数的乘法运算可得B、C错误；由复数模长的运算可得D错误. 【详解】设，，，，， 对于A：若，故，故，，所以，故A正确； 对于B：由于，所以，不一定满足为实数，故B错误； 对于C：当，由于，故，，故不一定为0，故C错误； 对于D：当，则，故，故不一定与相等，故D错误． 【巩固练习4】（2024·江苏·一模）（多选）已知复数，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】AC 【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得. 【详解】选项A，，则，故A正确； 选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误； 选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘变形得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则，或”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C， ，， ，或，即或，故C正确； 选项D，令， 则， 但，不为，故D错误. 故选：. 模块二 复数中档题 【题型6】复数的模与圆 解题技巧 |z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆． 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解. 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 【例题2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 是点到定点的距离，而，因此，， 所以的取值范围是. 【巩固练习2】（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 【巩固练习3】（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值. 【详解】设，因为，即， 所以，所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离，又，所以的最大值为. 【巩固练习4】（23-24高一下·福建厦门·期中）（多选）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD.    【题型7】复平面中的向量运算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，设，则，根据得到，即在以为圆心，半径的圆上，求出，由，求出的范围. 【详解】因为，设，则， 又，即，所以，即，所以在以为圆心，半径的圆上，又复数对应的点为，所以，所以， 所以，表示圆上的点与点的距离， 又，所以，即，结合选项可知只有A不可能.    【例题2】设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，根据题意结合复数的乘除法运算求出的关系，再根据复数的向量表示逐一判断即可. 【详解】设，，， 其中a，b，c，d，，且a，b不同时为0，c，d不同时为0，， 由题意， 所以， 所以，故A错误； ，无法比较的大小，故B错误； ， 由B选项得，无法判断的关系，故C错误； ， 所以，故D正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设，则，再根据的范围可判断B；根据可得，再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D. 【详解】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确； 对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆， 设， 则， 因为，可得，故B正确； 对于C， ，取，显然，但，故C错误； 对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误. 【巩固练习2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【思路分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 【巩固练习3】（多选）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则的最大值为. 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合复数的模，向量的位置关系，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，因为，可得，所以B错误； 对于C中，由，因为，可得，即 又因为，可得，联立方程组，可得，解得，所以C正确； 对于D中，由，可得， 因为，可得，即， 表示以为圆心，半径为的圆， 可得，则原点到圆上点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确.故选：ACD. 【题型8】复数性质的综合辨析 解题技巧 复数和向量都可以用点坐标来表示，二者的加减法定义完全相同，模长公式也相同，但是既然二者是分立的概念，其中的区别又体现在何处？ 区分：辨析复数的乘法与向量的数量积 复数的乘法： 向量的数量积的坐标运算：，，则向量与的数量积： 辨析两种运算 类似点：都是类似多项式乘法，所以都满足乘法交换律与分配律 区别：化简法则有着本质的不同，复数乘法是利用化简，最后得到的还是复数；而向量数量积的坐标运算本质上利用向量的正交分解，结合数量积的定义进行运算，最后得到的一定是一个实数。 模的平方的区别 复数中，一般，且 向量数量积与模的平方： 典型例题 【例题1】（2024·吉林·二模）（多选）已知复数 ，则（    ） A． B． C． D．若关于 的方程 的一个根为 ，则 【答案】BD 【分析】根据复数的模定义 A，根据共轭复数的性质判断B，根据虚数单位的周期性判断C，根据复数的乘法加法及复数相等判断D. 【详解】复数 ，则，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为的方程 的一个根为 ， 所以， 由复数相等可知，即，故D正确. 【例题2】（24-25高三上·江苏·期末）（多选）设，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为纯虚数 【答案】BD 【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D. 【详解】A：对于，，则，错； C：对于，，满足，显然，错； 令，，且，则，， 所以，B对； ，则，可得，即为纯虚数，D对. 【例题3】（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）（多选）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断B；根据复数的乘法运算及复数的模即可判断C；根据复数的加减法运算及复数的模即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 所以为实数，所以A正确； 对于B，设，则，但且，所以B错误； 对于C，设， 则 ， 又，则，所以C正确； 对于D，设，， 则，， 则 ， 故 ，所以D正确. 故选：ACD. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建漳州·期末）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为 【答案】BD 【分析】根据复数所在象限判断A,应用求和即可判断B,根据特殊值结合复数的模判断C,应用三角不等式求复数模的最大值判断D选项. 【详解】对于A，复数对于点位于第一象限，错误； 对于B，，正确； 对于C，取，则，错误； 对于D，，当时取最大值，正确. 故选：BD. 【巩固练习2】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知为复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．，则 C．若，则或 D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【分析】对于A：根据共轭复数的定义结合复数运算分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：根据模长性质分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆，结合圆的性质分析判断. 【详解】设，，则，， 对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，，则， 但不成立，故B错误； 对于选项C：若，则， 则或，所以或，故C正确； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆， 则，当且仅当点A在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3，故D正确 【巩固练习4】（2025·河北石家庄·一模）（多选）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得. 【详解】对于A，因，则等价于， 等价于，即，故A正确； 对于B，由可得， 当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误； 对于C，因对于， ， 则， 于是，故C正确； 对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆， 而可看成点到该圆上点的距离， 易得的最大值即，故D正确. 【巩固练习5】（23-24高一下·安徽·期末）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上 【答案】AD 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；根据复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 所以，故A正确； 对于B，由，得， 所以， 所以，故B错误； 对于C，若，则，而，故C错误； 对于D，因为，设对应的点为， 若，则在复平面内对应点到和的距离相等， 即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上， 所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确. 故选：AD． 【巩固练习6】（23-24高一下·湖北·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则的最大值为 【答案】CD 【分析】由复数的模长公式可判断A选项；由共轭复数的概念及复数的乘法法则可判断B选项； 对于C选项，利用共轭复数根的性质结合韦达定理，即可求得和的取值； 对于D选项，将复数模长公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心到点的距离再加上半径，即可判断. 【详解】A选项：若，则，故A错误； B选项：若，则，故B错误； C选项：因为是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，解得， 则，故C正确； D选项：设，因为， 所以，即，其表示圆心为，半径为2的圆. 而，其表示圆上的点到点的距离. 因为圆心到点的距离为， 所以的最大值为，故D正确. 【题型9】欧拉公式 解题技巧 欧拉恒等式是一个著名的数学公式，它将五个重要的数学常数连接在一起，很多人在学校的时候都没有了解过，但它被认为是能体现数学之美的最经典的例子之一。欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一，它神奇地将数学里最重要的几个常数联系到了一起：自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1，还有最常见的0。数学家们评价，它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它” ， 典型例题 【例题1】（24-25高三下·广东广州·期末）已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，由此计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∴，∴的虚部是. 【例题2】（2024·云南昆明·模拟预测）（多选）欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．复数对应的点位于第二象限． D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 【答案】AD 【分析】先根据欧拉公式得出，代入方程（a，），根据复数相等的充要条件得出，；根据韦达定理可得出，进而可判断选项A；根据复数模的计算方法可判断选项B；由欧拉公式和特殊值可判断选项C；由欧拉公式和复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为， 所以. 又因为在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，， 所以， 且，即， 则，解得：. 所以，，故选项A正确，选项B错误； 又因为， 所以当时，，此时复数对应的点为，故选项C错误； 因为，所以，，又因为复数对应的点为 ，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆，故选项D正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式””．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】判断出弧度的角的终边所在的象限，再结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，即弧度的角位于第四象限，则，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第四象限. 【巩固练习2】（多选）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点在第三象限 B． C．的共轭复数为1 D．复数的实部为 【答案】BD 【分析】由复数几何意义可判断A，由复数模的运算可判断B，由共轭复数、实部的概念可判断CD. 【详解】对于A，在复平面对应的点为在第二象限（因为），故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，的共轭复数为，故C错误； 对于D，的实部为，故D正确. 【巩固练习3】（多选）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是　　 A． B．若复数满足，则 C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则 D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直 【解答】解：对于，，故正确； 对于，，，故正确； 对于，若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，对应的向量坐标为， 对应的向量坐标为，可得，则，，故错误； 对于，复数与复数在复平面内表示的向量分别为，，则，可得两向量相互垂直，故正确． 故选：． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题3-1 复数的综合运算 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】复数的分类与辨析 【题型2】复数的基本运算 【题型3】复数范围内一元二次方程的根 【题型4】复数的乘方运算（找规律） 【题型5】待定系数法 模块二 复数中档题 【题型6】复数的模与圆 【题型7】复平面中的向量运算 【题型8】复数性质的综合辨析 【题型9】欧拉公式 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】复数的分类与辨析 基础知识 ，当且仅当a=0，b≠0时，z为纯虚数，其中虚部为b，而不是bi 典型例题 【例题1】若复数是纯虚数，则实数的值是 . 【例题2】对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知复数是纯虚数，则实数 ． 【巩固练习2】下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【巩固练习3】如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 【题型2】复数的基本运算 基础知识 复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数， 则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． (2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 典型例题 【例题1】（2024新高考I卷真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·贵州毕节·二模）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 巩固练习 题型 【巩固练习1】复数的实部与虚部之和为（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【巩固练习2】在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·云南曲靖·一模）已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 【题型3】复数范围内一元二次方程的根 基础知识 复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程(a≠0，且a，b，c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根 =，＝； 当时，方程有两个相等的实根＝＝－； 当时，方程有两个虚根＝，＝，且两个虚数根互为共轭复数． 注：在复数范围内，韦达定理，任然适用 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广西柳州·月考）已知关于的方程有实根，则实数 ． 【例题2】（23-24高一下·安徽亳州·月考）已知，是方程的两根，则 ， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（多选）若，是方程的两个虚数根，则（    ） A．的取值范围为 B．的共轭复数是 C． D．为纯虚数 【巩固练习3】（多选）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【巩固练习4】（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【题型4】复数的乘方运算（找规律） 解题技巧 一、常用乘方规律 ． 二、求 其中，，故 典型例题 【例题1】（2024·浙江温州·一模）若，则复数对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例题2】（2024·吉林长春·一模）若，则 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习2】若复数满足（是虚数单位），则 . 【巩固练习3】已知复数为虚数单位），则________ 【题型5】待定系数法 基础知识 对于复数实部与虚部不确定时，一般通过待定系数法得出二元方程组来确定复数 典型例题 【例题1】（2024·四川泸州·一模）（多选）若复数满足，则（   ） A． B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 【例题2】已知复数满足：，求复数 【例题3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知模长均为1的复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知复数的共轭复数是，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·四川德阳·二模）（多选）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0 【巩固练习3】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知，是复数，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则 D．若，则 【巩固练习4】（2024·江苏·一模）（多选）已知复数，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 模块二 复数中档题 【题型6】复数的模与圆 解题技巧 |z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆． 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建厦门·月考）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 【巩固练习2】（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【巩固练习3】（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 【巩固练习4】（23-24高一下·福建厦门·期中）（多选）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 【题型7】复平面中的向量运算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题2】设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【巩固练习2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则的最大值为. 【题型8】复数性质的综合辨析 解题技巧 复数和向量都可以用点坐标来表示，二者的加减法定义完全相同，模长公式也相同，但是既然二者是分立的概念，其中的区别又体现在何处？ 区分：辨析复数的乘法与向量的数量积 复数的乘法： 向量的数量积的坐标运算：，，则向量与的数量积： 辨析两种运算 类似点：都是类似多项式乘法，所以都满足乘法交换律与分配律 区别：化简法则有着本质的不同，复数乘法是利用化简，最后得到的还是复数；而向量数量积的坐标运算本质上利用向量的正交分解，结合数量积的定义进行运算，最后得到的一定是一个实数。 模的平方的区别 复数中，一般，且 向量数量积与模的平方： 典型例题 【例题1】（2024·吉林·二模）（多选）已知复数 ，则（    ） A． B． C． D．若关于 的方程 的一个根为 ，则 【例题2】（24-25高三上·江苏·期末）（多选）设，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为纯虚数 【例题3】（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）（多选）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建漳州·期末）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为 【巩固练习2】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·月考）（多选）已知为复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．，则 C．若，则或 D．若，则的最大值为3 【巩固练习4】（2025·河北石家庄·一模）（多选）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 【巩固练习5】（23-24高一下·安徽·期末）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上 【巩固练习6】（23-24高一下·湖北·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则的最大值为 【题型9】欧拉公式 解题技巧 欧拉恒等式是一个著名的数学公式，它将五个重要的数学常数连接在一起，很多人在学校的时候都没有了解过，但它被认为是能体现数学之美的最经典的例子之一。欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一，它神奇地将数学里最重要的几个常数联系到了一起：自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1，还有最常见的0。数学家们评价，它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它” ， 典型例题 【例题1】（24-25高三下·广东广州·期末）已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 . 【例题2】（2024·云南昆明·模拟预测）（多选）欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．复数对应的点位于第二象限． D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 巩固练习 题型 【巩固练习1】欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式””．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习2】（多选）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点在第三象限 B． C．的共轭复数为1 D．复数的实部为 【巩固练习3】（多选）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是　　 A． B．若复数满足，则 C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则 D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$