专题4.5 平行四边形（挑战综合压轴题分类专题）（题型梳理与分类展示）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.5 平行四边形（挑战综合压轴题分类专题）（题型梳理与分类展示） 第一部分【题型目录】 一、综合篇 【题型1】多边形内角和+外角和综合.....................................................1 【题型2】中心对称+轴对称综合.........................................................2 【题型3】平行四边形+平移综合.........................................................3【题型4】平行四边形+旋转综合.........................................................4【题型5】平行四边形+轴对称（折叠）综合...............................................5 【题型6】平行四边形+最值综合.........................................................6 【题型7】平行四边形+一次函数综合.....................................................7 【题型8】三角形的中位线综合..........................................................8 二、压轴篇 【题型9】平行四边形+动点问题压轴.....................................................9 【题型10】平行四边形+存在性问题压轴..................................................9 【题型11】平行四边形+阅读理解压轴...................................................10 【题型12】平行四边形+定值问题压轴...................................................12 第二部分 题型梳理与分类展示 一、综合篇 【题型1】多边形内角和+外角和综合 1．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    4．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ． 【题型2】中心对称+轴对称综合 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2021·湖北荆门·中考真题）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 4．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在直角坐标系内的位置如图所示． （1）分别写出A、B、C的坐标； （2）请在这个坐标系内画出，使与关于y轴对称，并写出的坐标； （3）请在这个坐标系内画出，使与关于原点对称，并写出的坐标． 【题型3】平行四边形+平移综合 1.（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，． （1）线段，的关系是_____； （2）如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； （3）如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； （4）如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 【题型4】平行四边形+旋转综合 1．（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 2．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为 ． 3．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图1，四边形的对角线，相交于点．直线经过点并绕点旋转，分别与，交于点，．其中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）如图2，若是老林家的一块平行四边形田地，为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井相邻．请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 【题型5】平行四边形+轴对称（折叠）综合 1．（2024·黑龙江·三模）如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 3．（24-25八年级上·海南海口·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． （1）如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． （2）平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【题型6】平行四边形+最值综合 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（2013·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【题型7】平行四边形+一次函数综合 1．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 2．（23-24八年级下·山西长治·期末）已知，一次函数的图象与轴交于点，点也在这条直线上且横坐标为，点是轴上一个动点，点在直线上，以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标 ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． （1）求点B的坐标； （2）已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【题型8】三角形的中位线综合 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图1，在中，点是上任意一点，交于点；点分别是的中点，直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，当四边形为平行四边形时，求证：． 二、压轴篇 【题型9】平行四边形+动点问题压轴 1．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期末）平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． （1）如图1，若，当M是中点时，求的度数； （2）如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【题型10】平行四边形+存在性问题压轴 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： （1）若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 2．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点． （1）求直线的解析式． （2）如图2，若为线段上一点，且满足，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，为直线上一点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型11】平行四边形+阅读理解压轴 1．（2024·山东青岛·二模）阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论：         图1               图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即． [自主探究]请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．            [尝试应用] 如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________． 2．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程． （2）方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，． ①请你判断线段与的数量关系，并给出证明； ②若，，请直接写出的长． 【题型12】平行四边形+定值问题压轴 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，一副三角板的两个直角重叠在一起，，，固定不动，绕着点顺时针旋转 （1）若绕着点旋转图的位置，若，则________； （2）若，在旋转的过程中的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值； （3）将绕点逆时针旋转度，问当为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？ 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值（填“大”、“小”）时，四边形的面积有最 值（填“大”、“小”）． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 平行四边形（挑战综合压轴题分类专题）（题型梳理与分类展示） 第一部分【题型目录】 一、综合篇 【题型1】多边形内角和+外角和综合.....................................................1 【题型2】中心对称+轴对称综合.........................................................4 【题型3】平行四边形+平移综合.........................................................7【题型4】平行四边形+旋转综合........................................................11【题型5】平行四边形+轴对称（折叠）综合..............................................15 【题型6】平行四边形+最值综合........................................................20 【题型7】平行四边形+一次函数综合....................................................24 【题型8】三角形的中位线综合.........................................................28 二、压轴篇 【题型9】平行四边形+动点问题压轴....................................................32 【题型10】平行四边形+存在性问题压轴.................................................38 【题型11】平行四边形+阅读理解压轴...................................................43 【题型12】平行四边形+定值问题压轴...................................................49 第二部分 题型梳理与分类展示 一、综合篇 【题型1】多边形内角和+外角和综合 1．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和外角，如图，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，进而求出的度数，周角求出的度数，再求出的等度数即可． 解：如图， ∵正多边形的每个内角度数相等，每个外角的度数相等， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 3．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 4．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为，即，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 解：∵正六边形的内角和， 每个内角为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型2】中心对称+轴对称综合 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 2．（2021·湖北荆门·中考真题）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出． 解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 3．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征： 先求出，，根据点与关于原点对称，建立方程求解即可． 解：令， ∴， ∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后， ∴平移后解析式为：， 同理可求， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得：, 故选：A． 4．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在直角坐标系内的位置如图所示． （1）分别写出A、B、C的坐标； （2）请在这个坐标系内画出，使与关于y轴对称，并写出的坐标； （3）请在这个坐标系内画出，使与关于原点对称，并写出的坐标． 【答案】（1）；（2）图见分析，；（3）图见分析， 【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标与中心对称，熟练掌握轴对称和中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）根据轴对称的性质，画出，然后写出的坐标即可； （3）根据中心对称的性质，画出，然后写出的坐标即可． 解：（1）解：由图可知：A、B、C的坐标分别为：； （2）如图，即为所求； 由图可知：； （3）如图，即为所求； 由图可知：． 【题型3】平行四边形+平移综合 1.（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与几何变换，首先连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案． 解：连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设的解析式为，且直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴的解析式为， 把代入得，， 解得， 在直线上，当时，， 解得， ∵， ∴直线要向右平移3个单位， ∴经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把拼在一起，得到平行四边形，则，由平行四边形的性质得，进而四边形的内角和为得到，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，． （1）线段，的关系是_____； （2）如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； （3）如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； （4）如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 【答案】（1）；（2）；（3）不会发生变化，证明见分析；（4）． 【分析】（1）由平移的性质可得，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得线段，的关系； （2）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得，，之间的数量关系； （3）过点作交于点，易得，由平行线的性质可得，，由得到，以此即可求解； （4）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而得到，，之间的数量关系． 解：（1）解：线段是由线段平移得到的， ，， 四边形为平行四边形， ，； 故答案为：，； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当点在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下： 如图，过点作交于点，    ∵， ∴， ，， ， ； （4）解：如图，设交于点，    ∵， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键． 【题型4】平行四边形+旋转综合 1．（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接并延长，交延长线于，由，得，，又是中点，即可得，有，，即知，是的中位线，从而可得答案． 解：连接并延长，交延长线于，如图： ， ，， 是中点， ， ， ，， ， 是中点， 是的中位线， ，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题考查三角形中位线，梯形中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作，根据题意得出，分类讨论，当在内部时，根据三角形中位线的性质，即可得出，当在之外，由含度角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理即可求解． 解：如图所示，过点作， ∵等腰中， ∴，则， ∴， ∴ ， 点为的中点， ． 当时，分类讨论如下： 当在内部时，如图，点与边中点重合， 由中位线定理可知，此时； 当在之外，如图2， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 又， ，在中，． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，分类讨论，分别画出图形是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图1，四边形的对角线，相交于点．直线经过点并绕点旋转，分别与，交于点，．其中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）如图2，若是老林家的一块平行四边形田地，为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井相邻．请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据平行四边形是中心对称图形的特点，得出过点O的直线平分四边形的面积． （1）证明，即得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）先证明，得到，再根据，即可证明结论； （3）由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 解：（1）在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， 即； （3）设计图形如图： 理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 【题型5】平行四边形+轴对称（折叠）综合 1．（2024·黑龙江·三模）如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．（24-25八年级上·海南海口·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． （1）如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． （2）平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【答案】（1）①见分析；②见分析；③；（2）11 【分析】（1）①根据，得出，即可证明． ②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形； ③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解． （2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解． 解：（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 【点拨】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型6】平行四边形+最值综合 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 解：六边形为正六边形， 点B关于直线的对称点为点F， 如图，连接交于点P，连， ， 由“两点之间线段最短”知，此时最小， 六边形为正六边形， 和都为等边三角形， ，， ， ∴的最小值是10， 故选：A． 2．（2013·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 解：如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【题型7】平行四边形+一次函数综合 1．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征： 先求出，，根据点与关于原点对称，建立方程求解即可． 解：令， ∴， ∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后， ∴平移后解析式为：， 同理可求， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得：, 故选：A． 2．（23-24八年级下·山西长治·期末）已知，一次函数的图象与轴交于点，点也在这条直线上且横坐标为，点是轴上一个动点，点在直线上，以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标 ． 【答案】：或 【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标，由一次函数中，求出，，设，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，情况即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由一次函数中，当时，；当时，， ∴，， ∵点是轴上一个动点，点在直线上， ∴设，， ∵以点为顶点的四边形是平行四边形， ∴如图，当为对角线时， 设交于点， ∴点在上， ∴即， ∴，，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴，，解得， ∴， 如图，当为对角线时， ∴，，解得， ∴， 此时点共线，不符合题意； 综上点或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． （1）求点B的坐标； （2）已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标； （2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可； （3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论． 解：（1）解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 【题型8】三角形的中位线综合 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 解：四边形为平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ∴为等边三角形故①正确； ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，故④正确； 综上成立的个数是个， 故选：． 【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图1，在中，点是上任意一点，交于点；点分别是的中点，直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，当四边形为平行四边形时，求证：． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解决此题的关键． （1）由三角形的中位线定理可得，再由即可证得四边形是平行四边形； （2）先证出，再证出，然后三角形的中位线定理即可得解． 解：（1）证明：∵点M､N分别是､的中点， ∴，即 ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 二、压轴篇 【题型9】平行四边形+动点问题压轴 1．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．延长，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出即可． 解：延长，过点作，交的延长线于点，如图所示：    ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ，即， 解得：或（舍去）， 在中根据勾股定理得：， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】连接，在上截取，连接，由折叠性质可知垂直平分，则，，，，根据等腰三角形的性质和内角和定理得，由四边形是平行四边形，得，，，，证明是等边三角形，再证明，则，，根据线段和差可得，过作，交延长线于点，由勾股定理得：，设，则，，最后通过勾股定理即可求解． 解：连接，在上截取，连接， 由折叠性质可知，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期末）平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． （1）如图1，若，当M是中点时，求的度数； （2）如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；（2）①见分析；②，证明见分析 【分析】（1）取的中点P，连接，证，得，再证，进而证，然后证是等边三角形，得，即可得出结论； （2）①依题意补全图形即可； ②过点A作于点G，过M作于点H，证和是等腰直角三角形，得，再证，得，即可解决问题． 解：（1）如图1， 取的中点P，连接， 则， ∵M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的度数为； （2）①依题意补全图形如图2， ②，证明如下： 如图3， 如图 3，过点作于点，过作于点， 则， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 【题型10】平行四边形+存在性问题压轴 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： （1）若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见分析 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 解：（1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 2．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点． （1）求直线的解析式． （2）如图2，若为线段上一点，且满足，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，为直线上一点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）存在，点的坐标为或 【分析】（1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法则求解即可； （2）首先确定点的坐标，结合，，易得，可解得，进而确定点的坐标即可； （3）设点的坐标为，点的坐标为，结合，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形，易知对角线可以为，，然后分两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 解：（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴点， 将点与点的坐标代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）∵直线与轴交于点， 即当时，， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵为线段上一点， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）存在，点的坐标为或． ∵为直线上一点，为轴上一点， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，为顶点构成的四边形是以为边的平行四边形， ∴对角线可以为，， 分两种情况： ①当是对角线时，如下图，    由平行四边形的性质可知，的中点与的中点重合， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； ②当是对角线时，如下图，    由平行四边形的性质可知，的中点与的中点重合， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式、坐标与图形、平行四边形的性质、一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 【题型11】平行四边形+阅读理解压轴 1．（2024·山东青岛·二模）阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论：         图1               图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即． [自主探究]请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．            [尝试应用] 如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． [自主探究]证明，推出，在中，利用三角形中位线定理即可得解； [尝试应用]连接，作，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得，再利用四边形的中位线性质即可求解． 解：自主探究（方法2） 解：∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴ ，且， ∵， ∴， 在中，， ∴，即； [尝试应用]连接，作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵分别是边的中点， 由（1）得，即， ∴． 故答案为：． 2．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程． （2）方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，． ①请你判断线段与的数量关系，并给出证明； ②若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见分析；（2）①，见分析；②2或4 【分析】（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论； （2）①延长至点，使，连接、，先证（），得，，则，再证（），得，，然后证是等边三角形，即可得出结论； ②分两种情况，当为的中位线时，，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明（），得出，则可得出答案． 解：（1）证明：延长至，使，连接，    在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：线段与的数量关系为：， 证明如下：延长至点，使，连接、，如图所示：    ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ②解：的长为或． 当为的中位线时，， ∴为的中点， ∴， ∴， 如图，当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，    ∵为等腰三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∴，即， ∴，即， 综上所述，的长为或． 【点拨】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理的证明、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型12】平行四边形+定值问题压轴 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，一副三角板的两个直角重叠在一起，，，固定不动，绕着点顺时针旋转 （1）若绕着点旋转图的位置，若，则________； （2）若，在旋转的过程中的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值； （3）将绕点逆时针旋转度，问当为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？ 【答案】（1）；（2）不发生变化，的值为；（3）或或或或或 【分析】本题主要考查了角的和差计算、垂直的定义、四边形的内角和； （1）由，求出，然后计算即可； （2）根据，表示出和，然后计算的值即可； （3）分情况讨论，分别根据角的和差关系以及四边形内角和定理求解即可． 解：（1）解： ，， ， ， 故答案为：； （2）如图，若，即， ，， ， 即在旋转的过程中，不发生变化； （3）分情况讨论： ①如图， 当时， ， ； ②如图， 当时， ， ， ， ； ③如图， 当时，； ④如图， 当时，延长交于， ， ， ， ∴； ⑤如图， 当时，延长交于， ， ， ， ， ； ⑥如图， 当时，延长交于， ， ， ； 综上，当为或或或或或时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直． 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值（填“大”、“小”）时，四边形的面积有最 值（填“大”、“小”）． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$