2.6.2 双曲线的几何性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 平面解析几何 2.6　双曲线及其方程 2.6.2　双曲线的几何性质 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 A 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 D 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 A 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 2 4 y=±x 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.6.2　双曲线的几何性质 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　双曲线是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关性质。 1.掌握双曲线的几何性质。 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。 3.利用双曲线的几何性质解决一些简单问题。 知识点、双曲线的几何性质 1. 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:坐标原点 顶点 顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0) 顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a) 轴长 实轴长:2a;虚轴长:2b 渐近线 　　　　　　  　　　　　　  离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= a,b,c间的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) y=±x y=±x 2a 微提醒 (1)双曲线离心率e=,也可以利用c2=a2+b2转化为e===。 (2)双曲线-=1与双曲线-=λ和双曲线-=λ(a>0,b>0,λ>0)的离心率相同。 2.等轴双曲线:　　　　　　　　　的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线具有以下性质:  (1)方程形式为　　 　　(λ≠0);  (2)渐近线方程为　　 　　,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;  (3)实轴长和虚轴长都等于　　　,离心率e=　　　。  实轴长和虚轴长相等 x2-y2=λ y=±x 微思考 如何快速求出双曲线的渐近线? 提示:渐近线是双曲线的特有几何性质,求双曲线的渐近线方程方法较多,一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线方程求得,也可以运用下列方法求得:将-=1(a>0,b>0)中的“1”换为0即得双曲线的渐近线方程为-=0,即±=0,即y=±x。 类型一　双曲线的简单几何性质 　　【例1】　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程。 解　将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1,即=1,所以a=3,b=2,c=。因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e==,渐近线方程为y=±x=±x。 【互动探究】　求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程。 解　把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为=1(m>0,n>0),由此可知,实半轴长a=,虚半轴长b=,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e===,顶点坐标为(-,0),(,0),渐近线方程为y=±x,即y=±x。 　　 　　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键; (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质。 【变式训练】　求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)一个焦点为(0,13),且离心率为; (2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3)。 解　(1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,又=,所以a=5,b2=c2-a2=144,故其标准方程为=1。 (2)因为双曲线的渐近线方程为y=±x,若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则=　①。因为A(2,-3)在双曲线上,所以=1　②。由①②联立,无解。若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则=　③。因为A(2,-3)在双曲线上,所以=1　④。由③④联立,解得a2=8,b2=32。所以所求双曲线的标准方程为=1。 类型二　双曲线的渐近线问题 【例2】　如图,已知F1,F2为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°。求双曲线的渐近线方程。 解　设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),如题图P在第一象限(y0>0),则=1,解得y0=,所以|PF2|=。 解法一:在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,|F1F2|=|PF2|,即2c=·,将c2=a2+b2代入,解得b2=2a2,故=。所以双曲线的渐近线方程为y=±x。 解法二:在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a,又因为|PF2|=,所以2a=,即b2=2a2,所以=。所以双曲线的渐近线方程为y=±x。 　　求出点P的坐标,利用Rt△PF1F2或利用双曲线的定义求解。本题就是一道与三角形结合,求渐近线方程的综合性题目,充分利用直角三角形中的知识是解题的关键。 解　解法一:双曲线=1的渐近线方程为y=±x。 (1)设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0)。因为=,所以b=a①。因为点A(2,-3)在所求的双曲线上,所以=1②。联立①②所得的方程组无解。 【变式训练】　求与双曲线=1共渐近线且过点A(2,-3)的双曲线的方程及其离心率。 (2)设所求的双曲线方程为=1(a>0,b>0)。因为=,所以a=b③。因为点A(2,-3)在所求的双曲线上,所以=1④,联立③④得a2=,b2=4。所以所求双曲线的方程为=1且其离心率为e=。 解法二:设与双曲线=1共渐近线的双曲线的方程为=λ(λ≠0)。因为点A(2,-3)在所求的双曲线上,所以λ==-,所以所求双曲线的方程为=-,即=1。从而可求得离心率e=。 类型三　双曲线的离心率问题 　　【例3】　已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率。 解　设F1(-c,0),将x=-c代入双曲线的方程得=1,则y=±。由|PF2|=|QF2|, ∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|,所以=2c,所以b2=2ac。所以c2-2ac-a2=0,所以-2×-1=0,即e2-2e-1=0。所以e=1+或e=1-(舍去)。所以所求双曲线的离心率为1+。 　　(1)求双曲线离心率的常见方法。 ①依据条件求出a,c,再计算e=; ②依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解,另一种方法是消去c转化成含的方程,求出后利用e=求离心率。 (2)求离心率范围的技巧。 ①根据条件建立a,b,c的不等式; ②通过解不等式得或的范围,进而求得离心率的范围。 【变式训练】　(1)如图,F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为 ( ) A.4　　 B. C.　 　 D. 解析　设等边三角形的边长为m,即|AB|=|AF2|=|BF2|=m,结合双曲线的定义,可知|BF1|=2a,|BF2|=4a,|F1F2|=2c,根据等边三角形,可知∠F1BF2=120°,应用余弦定理,可知4a2+16a2+2·2a·4a·=4c2,整理得=,故选B。 (2)已知点F是双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+) D.(2,1+) 解析　由AB⊥x轴,可知△ABE为等腰三角形,又△ABE是锐角三角形,所以∠AEB为锐角,即∠AEF<45°,于是|AF|<|EF|,即<a+c,于是c2-a2<a2+ac,即e2-e-2<0,解得-1<e<2,又双曲线的离心率大于1,从而1<e<2。故选B。 1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m= ( ) A.- B.-4 C.4 D. 解析　双曲线方程化为标准形式为y2-=1,则有a2=1,b2=-。由题设知,2=,所以m=-。 2.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线方程为 ( ) A.x2-y2=96 B.y2-x2=160 C.x2-y2=80 D.y2-x2=24 解析　由题意知c==4,设双曲线方程为=1,渐近线为y=x,所以a=b,于是=c=4,a2=24,所以b2=24,双曲线方程为y2-x2=24。 3.已知直线y=-是双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则此双曲线的离心率是 ( ) A. B. C. D. 解析　因为双曲线的一条渐近线方程为y=-,所以=,所以a=3b,a2=9b2,所以c2=10b2,所以离心率为e===。故选A。 4.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为 ,虚轴长为 ,渐近线方程为 , 离心率为  。  解析　双曲线5y2-4x2=-20化为标准方程为=1。所以a=,b=2,c=3,焦点在x轴上。所以实轴长为2a=2,虚轴长为2b=4,渐近线方程为y=±x,离心率为e==。 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在y轴上,两顶点间的距离是16,离心率是; (2)离心率e=,且过点(4,)。 解　(1)设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),由2a=16,得a=8,又由e==,得c=10。所以b2=c2-a2=102-82=36。所以双曲线的标准方程为=1。 (2)e=,即=,所以c2=2a2,又c2=a2+b2,所以a2=b2。设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),因为过点(4,),所以λ=16-10=6。所以双曲线的标准方程为=1。 $$