2.5.1 椭圆的标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 平面解析几何 2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 A 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 8 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 (x+1)2+y2=16 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 +=1 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 48 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.5.1　椭圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,就画出一个椭圆的图形。 1.理解椭圆的定义。 2.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程。 知识点一、椭圆的定义 1.定义:如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且　　　　　,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆。  2.焦点:　　　　　　　称为椭圆的焦点。  3.焦距:　　　　　　之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。  2a>|F1F2| 两个定点F1,F2 两个焦点 知识点二、椭圆的标准方程 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 b2=a2-c2 微提醒 椭圆的焦点在x轴上时,标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上时,标准方程中y2项的分母较大。 在求椭圆方程时,一定要考虑焦点在哪个坐标轴上。如果题目中对焦点在哪个坐标轴上不明确,则应该考虑焦点在x轴上或焦点在y轴上两种情况。 微思考 椭圆的定义中,当2a不大于|F1F2|时,轨迹是什么曲线? 提示:在椭圆的定义中,(1)当定长等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;(2)当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在。 类型一　求椭圆的标准方程 　　【例1】　根据下列条件,求椭圆的标准方程。 (1)中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b; (2)经过点A(3,),B(2,3); (3)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点。 解　(1)当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0)。由椭圆过点P(3,0),知+=1。又a=3b,代入得b2=1,a2=9。故椭圆的方程为+y2=1。当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0)。由椭圆过点P(3,0),知+=1。又a=3b,联立解得a2=81,b2=9。故椭圆的方程为+=1。 (2)解法一:设所求椭圆方程为+=1(m>0,n>0)。将A(3,),B(2,3)代入上面方程,得解得所以所求的椭圆方程为+=1。 解法二:当焦点在x轴上时,设所求方程为+=1(a>b>0)。将A(3,),B(2,3)代入以上方程得因为a2<b2,与a>b>0矛盾,故应舍去。当焦点在y轴上时,设所求方程为+=1(a>b>0)。将A(3,),B(2,3)代入以上方程得故所求椭圆方程 为+=1。 (3)因为椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±),则可设所求椭圆方程为+=1(m>0),又椭圆经过点(2,-3),则有+=1,解得m=10或m=-2(舍去),即所求椭圆的方程为+=1。 　　椭圆标准方程的求法 (1)定义法:定义是研究椭圆问题的基础和根本,根据椭圆的定义得到相应的a,b,c再写出椭圆的标准方程。 (2)待定系数法:先设出椭圆的标准方程+=1或+=1(a>b>0),然后求出待定的系数代入方程即可。 (3)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0)。 (4)与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,b2>-λ),与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,b2>-λ)。 【变式训练】　已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是 ( ) A.+x2=1 B.+y2=1或x2+=1 C.+y2=1 D.以上都不对 解析　设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得所以椭圆的标准方程为+x2=1。 类型二　椭圆定义的应用 【例2】 如图所示,点P是椭圆+=1上的一点,F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积。 解　在椭圆+=1中,a=,b=2,所以c==1。又因为P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2　①。在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 30° =|F1F2|2=(2c)2=4　②。①式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20　③。③-②,得(2+ )|PF1|·|PF2|=16,所以|PF1|·|PF2|=16(2-),所以=|PF1|·|PF2|·sin 30°=8-4。 　　解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识。对于求焦点三角形的面积,若已知∠F1PF2,可利用S=absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体,利用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,这样可以减少运算量。 【变式训练】　已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点。若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= 。  解析　如图所示,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|= 4a=20,又|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8。 类型三　与椭圆有关的求轨迹问题 　　【例3】　已知☉B:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任一点,求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程。 解　如图所示,连接AP,因为l是AC的垂直平分线,所以|AP|= |CP|。所以|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=4>|AB|=2。所以P点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆。因为2a=4,2c=|AB|=2,所以a=2,c=1,b2=a2- c2=3。所以点P的轨迹方程为+=1。 　　利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由条件找到动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定椭圆的方程。 【变式训练】　已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是 。  解析　如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0)。又|PQ|= |PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a。由题意知,a=2,b=,c= ==1,所以|QF1|=4,F1(-1,0),所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16。 求轨迹方程忘记约束条件致误 【典例】　已知在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三边a,b,c(a>b>c)满足a+c= 2b,A,C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程。 【易错解法】　设点B的坐标为(x,y)。因为a+c=2b,即|BC|+|BA|=2|AC|,所以|BC|+|BA|=4。又|OA|=|OC|=1,所以根据椭圆的定义易知,点B的轨迹方程为+=1。 【正确解答】　由错解知+=1。因为a>c,所以>,解得x<0。又点B不在x轴上,所以x≠-2。故所求的顶点B的轨迹方程为+=1 (-2<x<0)。 1.椭圆+=1的焦距是 ( ) A.3 B.6 C.8 D.10 解析　因为a2=25,b2=16,所以c2=a2-b2=9,所以c=3,2c=6,故选B。 2.“2<k<5”是“方程+=1表示的曲线是椭圆”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析　由方程+=1表示的曲线是椭圆,可得解得2<k<5且k≠,所以2<k<5且k≠⇒2<k<5,而2<k<5推不出2<k<5且k≠。所以,“2<k<5”是“方程+=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件。 3.已知椭圆的焦点是F1(0,-1),F2(0,1),P是椭圆上一点,且满足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则椭圆的方程是  。  解析　因为|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4=2a,所以a=2,又c=1,所以b=,又椭圆的焦点在y轴上,所以所求椭圆的方程为+=1。 4.已知椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线夹角为直角,则|PF1|·|PF2|= 。  解析　依题意得a=7,b=2,c==5,|F1F2|=2c=10,由于PF1⊥PF2,所以由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=100。又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=14,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=100,即196-2|PF1|·|PF2|=100。解得|PF1|·|PF2|=48。 5.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程。 解　两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R。所以|MO1|+|MO2|=10。由椭圆的定义知:M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为+=1。 $$