2.3.1 圆的标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 平面解析几何 2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 (x-2)2+y2=9 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B [0,1) 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 A B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 1 2 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.3.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　直线和圆是平面几何中的两类基本图形,建立直线的方程后,我们可以运用它研究直线的平行和垂直、直线的交点及点到直线的距离等问题,类似地,为了研究圆的有关性质,解决与圆有关的问题,我们首先需要建立圆的方程。 1.掌握圆的定义及标准方程。 2.会根据已知条件求圆的标准方程。 3.能准确判断点与圆的位置关系。 定长 知识点一、圆的标准方程 1.圆的定义。 平面内到　　　　的距离等于　　　　的点的集合是圆,其中　　　　是圆心, 　　　　是圆的半径。  2.圆的方程。 一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),则(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆的标准方程。当圆心在原点,半径为r时,圆的方程为x2+y2=r2。 一定点 定长 定点 圆C上 知识点二、点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内。判断点与圆的位置关系有两种方法。 (1)将所给的点M与圆心C的距离跟半径r作比较。 若|CM|=r,则点M在　　　　;  若|CM|>r,则点M在　　　　;  若|CM|<r,则点M在　　　　。  (2)可利用圆C的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2来确定。 点M(m,n)在　　　　⇔(m-a)2+(n-b)2=r2;  圆上 圆外 圆内 点M(m,n)在　　　　⇔(m-a)2+(n-b)2>r2;  点M(m,n)在　　　　⇔(m-a)2+(n-b)2<r2。  知识点三、圆中常用的几何性质 求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径,为此常用到圆的以下几何性质。 (1)弦的垂直平分线必过圆心。 (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心。 (3)圆心与切点的连线长是半径长。 (4)圆心与切点的连线必与切线垂直。 圆C外 圆C内 微提醒 讨论点与圆的位置关系时可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷。 类型一　求圆的标准方程 　　【例1】　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆的标准方程为 。  解析　设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),由题意知,=,解得a=2,所以C(2,0),圆C的半径为r=|CM|==3。所以圆的标准方程为(x-2)2+y2=9。 (2)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程。 解　解法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有解得故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25。 解法二:因为A(0,5),B(1,-2),所以线段AB中点的坐标为,直线AB的斜率为kAB==-7,因此线段AB的垂直平分线的方程是y-=x-,即x-7y+10=0。同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+y+5=0。由得即圆心坐标为(-3,1)。又圆的半径r==5,故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25。 　　(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程。 (2)确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等。 【变式训练】　求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程。 解　解法一:设点C为圆心,因为点C在直线x+y-2=0上,所以可设点C的坐标为(a,2-a)。又因为该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|。所以=,解得a=1。所以圆心坐标为C(1,1),半径r=|CA|=2。故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4。 解法二:由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x。则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,由得即圆心坐标为(1,1),圆的半径为=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4。 类型二　点与圆的位置关系 　　【例2】　(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 ( ) A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 (2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围为 。  解析　由(m2)2+52=m4+25>24,得点P在圆外。故选B。 解析　由题意知即解得0≤a<1。 　　(1)判断点与圆的位置关系的方法。 ①只需计算该点与圆心的距离,与半径作比较即可; ②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断。 (2)灵活运用。 若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围。 【变式训练】　若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,求实数a的取值范围。 解　因为点(1,1)在圆的内部,即点(1,1)到圆心(a,-a)的距离小于半径2,所以<2,解得-1<a<1。所以实数a的取值范围是(-1,1)。 类型三　圆的方程实际应用 【例3】　如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区。规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m。经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=。 (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 解　解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy。由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-。又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=。设点B的坐标为(a,b),则kBC==-,kAB==。解得a=80,b=120。所以|BC|==150。因此新桥BC的长是150 m。 (2)设保护区的边界圆M的半径长为r m,|OM|=d m(0≤d≤60)。由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0。由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r==。因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10≤d≤35。当d=10时,r=最大,即圆面积最大。所以当|OM|=10 m时,圆形保护区的面积最大。 解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F。因为tan∠FCO=,所以sin∠FCO=, cos∠FCO=。因为|OA|=60,|OC|=170,所以|OF|=|OC|·tan∠FCO=,|CF|==。 从而|AF|=|OF|-|OA|=。因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=。又因为AB⊥BC,所以|BF|=|AF|·cos∠AFB=,从而|BC|=|CF|-|BF|=150。因此新桥BC的长是150 m。 (2)如图,设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设|MD|=r m,|OM|=d m(0≤d≤60)。因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO。故由(1)知sin∠CFO====,所以r=。因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10≤d≤35。当d=10时,r=最大,即圆面积最大。所以当|OM|=10 m时,圆形保护区的面积最大。 建系不同,圆的方程不同,但建系时,要尽量使方程简单,并有利于目标实现。本题若选择其他方法建系也不影响结论。 【变式训练】　如图所示,一座圆弧形拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽多少米? 解　以圆弧形拱桥拱顶为原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示。设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2)。设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2　①,将点A的坐标(6,-2)代入方程①,得36+(r-2)2=r2,所以r=10。所以圆的方程为x2+(y+10)2=100　②。当水面下降1米后,可设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)代入方程②,得x0=,所以水面下降1米后,水面宽为2x0=2米。 对圆心位置考虑不全致误 　　【典例】　已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程。 【易错解法】　如图,由题设知|AB|=8,|AC|=5。 在Rt△AOC中,|OC|===3。 所以点C的坐标为(3,0),所以所求圆的标准方程为(x-3)2+y2=25。 【易错探因】　由题意可得|OC|=3,点C在x轴上,则点C可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,错解只考虑了在x轴正半轴上的情况。 【正确解答】　解法一:如图所示,由题设知|AC|=r=5,|AB|=8,所以|AO|=4。在Rt△AOC中,|OC|===3。设点C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,所以a=±3。所以所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25。 解法二:由题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=25。因为圆截y轴所得线段长为8,所以圆过点(0,4),(0,-4)。代入方程得a2+16=25,所以a=±3,所以所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25。 1.点(2,5)与圆x2+y2=26的位置关系是 ( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 2.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的方程是 ( ) A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 解析　把(2,5)代入x2+y2得x2+y2=4+25=29>26,故点(2,5)在圆外。 解析　由题意可知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为2,则半径长为,所以所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13。 3.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值是 。  4.若圆(x+1)2+(y-3)2=9上相异的两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为 。  解析　设P(x,y)为圆C:(x+5)2+(y-12)2=142上任意一点,则圆心C(-5,12),半径r=14, |OC|=13。因为x2+y2==|OP|2,|OP|min=r-|OC|=14-13=1,所以x2+y2的最小值为1。 解析　圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴,已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,即k×(-1)+2×3-4=0,所以k=2。 5.求圆心为点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。 解　因为圆心为点C(1,3),并且圆和直线3x-4y-7=0相切,所以点C(1,3)到直线3x-4y- 7=0的距离就是半径,即r==。所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=。 $$