2.3.1 圆的标准方程（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

2.3.1 圆的标准方程 主讲：张明明 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径. 在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示.平面直角坐标系中的一个圆，是否也可以用方程表示呢？ 引言 ※ 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 思考 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 圆心坐标，半径 确定一个圆 尝试与发现 如图，设平面直角坐标系中的☉C的圆心坐标 为C(1,2)，而且半径为2. (1)判断点A(3,2)是否在☉C上； (2)设M(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在☉C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？ x y O C A M 根据圆的定义可知，一个点在☉C上的充要条件是这个点到圆心的距离等于半径. 因为 所以点A(3,2)在☉C上。 同样，M(x,y)在☉C上的充要条件是|CM|=2，由两点间的距离公式有 因此x，y要满足 (x-1)2+(y-2)2=4 x y O C A M 一、圆的标准方程 圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程 (x - a)2+(y - b)2= r2 与直线方程比，圆的标准方程有什么特点？ 圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程 x 2 + y 2= r2 思考 点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？ 在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？ C C C M0 M0 M0 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 在圆内 在圆上 在圆外 【典型例题一】 例1 写出下列圆的标准方程： (1) 圆心在C(-2,1)，且过点A(2,-2)； (2) 过点(0,1)和点(2,1)，半径是√5. 解：(1)所求圆的半径 又因为圆心为(-2,1)，所以所求圆的方程为 (x+2)2+(y-1)2=25 【典型例题一】 例1 写出下列圆的标准方程： (1) 圆心在C(-2,1)，且过点A(2,-2)； (2) 过点(0,1)和点(2,1)，半径是√5. 解：(2)设圆心坐标为(a,b)，则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=5. 因为(0,1)，(2,1)是圆上的点，所以 解得或 所以圆的方程为 (x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y-3)2=5. 【巩固练习】 练习1 写出下列圆的标准方程： (1) 圆心为C(-3,4)，半径是； (2) 圆心为C(-8,3)，且经过点M(-5,-1). 【答案】(1) (x+3)2+(y-4)2=5 (2) (x+8)2+(y-3)2=25 【典型例题二】 例2 已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内. (1) M1(4,-5) (2)M2(6,1) (3)M3(3,-6). 解:(1) M1代入圆的方程，(4-3)2+(-5+2)2<16，所以点M1在圆内； (1) M2代入圆的方程，(6-3)2+(1+2)2>16，所以点M1在圆外； (1) M3代入圆的方程，(3-3)2+(-6+2)2=16，所以点M1在圆上. 【典型例题三】 例3 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 把点A,B的坐标代入圆得方程，圆心C(a,b)代入直线l，得 故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 【典型例题三】 例3 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 几何角度:如何确定圆心呢？ x O A(1,1) B(2,-2) y 圆心 在l上 在AB中垂线上 AB中点 AB斜率 【典型例题三】 【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心) 因为A(1,1)，B(2,-2) 所以AB的中点坐标为(,-)，且kAB=-3 所以AB中垂线的斜率为， 则AB中垂线方程为y+=(x-)，即x-3y-3=0, 联立中垂线方程与直线l: x-y+1=0，得圆心坐标为M(-3,-2) 所以半径r=|AM|= 故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 x O A(1,1) B(2,-2) y 课堂小结 圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程 (x - a)2+(y - b)2= r2 圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程 x 2 + y 2= r2 主讲：张明明 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$